Даны четыре вектора в $\mathbb{R}^4$: $$ a_1 = \{1, 2, 3, 4\},\quad a_2 = \{4, 3, 2, 1\},\quad a_3 = \{-1, 0, 1, 2\},\quad a_4 = \{1, 1, 1, 2\}. $$ Показать, что эти векторы линейно зависимы, найти максимальную подсистему линейно независимых векторов и выразить остальные векторы через векторы этой подсистемы.

Составим матрицу, строками которой являются данные векторы: $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}. $$ Приведем её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

1. Из второй строки вычтем первую, умноженную на 4:

 $$ (4-4\cdot1,\; 3-4\cdot2,\; 2-4\cdot3,\; 1-4\cdot4) = (0,\; -5,\; -10,\; -15). $$

2. К третьей строке прибавим первую:

 $$ (-1+1,\; 0+2,\; 1+3,\; 2+4) = (0,\; 2,\; 4,\; 6). $$

3. Из четвертой строки вычтем первую:

 $$ (1-1,\; 1-2,\; 1-3,\; 2-4) = (0,\; -1,\; -2,\; -2). $$

Получили: $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -5 & -10 & -15 \\ 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}. $$

Упростим вторую строку, разделив на $-5$: $(0,1,2,3)$. Третью строку разделим на $2$: $(0,1,2,3)$. Четвертую пока оставим.

Теперь из третьей строки вычтем вторую: $(0,0,0,0)$ — нулевая строка. К четвертой строке прибавим вторую: $$ (0,\; -1+1,\; -2+2,\; -2+3) = (0,0,0,1). $$ Получили матрицу: $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$ Ранг матрицы равен $3$, следовательно, исходные векторы линейно зависимы, и максимальная линейно независимая подсистема состоит из трёх векторов.

В качестве базисных выберем векторы $a_1$, $a_2$ и $a_4$ (они соответствуют ненулевым строкам после преобразований, причём $a_4$ оказался независимым от первых двух). Проверим, что $a_4$ не выражается через $a_1$ и $a_2$: система $a_4 = \alpha a_1 + \beta a_2$ приводит к противоречию (четвёртое уравнение $4\alpha+\beta=2$ не выполняется при $\alpha=\beta=0.2$, найденных из первых трёх). Таким образом, $\{a_1, a_2, a_4\}$ — максимальная независимая подсистема.

Выразим $a_3$ через $a_1$, $a_2$ и $a_4$. Ищем коэффициенты $x$, $y$, $z$ такие, что $$ a_3 = x a_1 + y a_2 + z a_4. $$ Запишем покоординатно: \[ \begin{cases} x + 4y + z = -1, \\ 2x + 3y + z = 0, \\ 3x + 2y + z = 1, \\ 4x + y + 2z = 2. \end{cases} \] Вычитая первое уравнение из второго, получаем $x - y = 1$. Вычитая второе из третьего, снова $x - y = 1$. Вычитая третье из четвёртого: $$ (4x+y+2z) - (3x+2y+z) = 2-1 \;\Rightarrow\; x - y + z = 1. $$ Так как $x - y = 1$, то $1 + z = 1$, откуда $z = 0$. Тогда из первого уравнения: $x + 4y = -1$. Вместе с $x = y+1$ получаем $(y+1) + 4y = 5y+1 = -1$, следовательно $y = -\frac{2}{5}$, $x = \frac{3}{5}$. Проверка подтверждает все уравнения. Таким образом, $$ a_3 = \frac{3}{5} a_1 - \frac{2}{5} a_2. $$

Векторы линейно зависимы. Максимальная линейно независимая подсистема: $\{a_1, a_2, a_4\}$. Остальные векторы выражаются следующим образом: $$ a_3 = \frac{3}{5}a_1 - \frac{2}{5}a_2. $$