Даны три вектора: $a_1 = \{2, 3, 4, 5\}$, $a_2 = \{-3, 6, -6, -4\}$, $a_3 = \{-3, 3, -6, -5\}$. Установить, будут ли эти векторы линейно зависимы.

Векторы линейно зависимы, если существует нетривиальная линейная комбинация, равная нулю. Найдём коэффициенты зависимости. Решим систему $\alpha_1 a_1 + \alpha_2 a_2 + \alpha_3 a_3 = 0$: \[ \begin{cases} 2\alpha_1 -3\alpha_2 -3\alpha_3 = 0,\\ 3\alpha_1 +6\alpha_2 +3\alpha_3 = 0,\\ 4\alpha_1 -6\alpha_2 -6\alpha_3 = 0,\\ 5\alpha_1 -4\alpha_2 -5\alpha_3 = 0. \end{cases} \] Первое и третье уравнения пропорциональны, поэтому достаточно первых двух. Из первого и второго: \[ \begin{cases} 2\alpha_1 -3\alpha_2 -3\alpha_3 = 0,\\ 3\alpha_1 +6\alpha_2 +3\alpha_3 = 0. \end{cases} \] Сложим: $5\alpha_1 +3\alpha_2 = 0 \Rightarrow \alpha_2 = -\frac{5}{3}\alpha_1$. Подставим в первое: $2\alpha_1 -3(-\frac{5}{3}\alpha_1) -3\alpha_3 = 2\alpha_1 +5\alpha_1 -3\alpha_3 = 7\alpha_1 -3\alpha_3 = 0 \Rightarrow \alpha_3 = \frac{7}{3}\alpha_1$. Проверим четвёртое уравнение: $5\alpha_1 -4(-\frac{5}{3}\alpha_1) -5(\frac{7}{3}\alpha_1) = 5\alpha_1 +\frac{20}{3}\alpha_1 -\frac{35}{3}\alpha_1 = 0$. При $\alpha_1 = 3$ получаем $\alpha_2 = -5$, $\alpha_3 = 7$. Проверка: $3a_1 -5a_2 +7a_3 = 3(2,3,4,5) -5(-3,6,-6,-4) +7(-3,3,-6,-5) = (6,9,12,15) + (15,-30,30,20) + (-21,21,-42,-35) = (0,0,0,0)$.

Векторы линейно зависимы. Например, $3a_1 -5a_2 +7a_3 = 0$.