Решение задач 13.1 (а, б)

—

Вычислить определитель: $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -3 & 2 & -5 & 13 \\ 1 & -2 & 10 & 4 \\ -2 & 9 & -8 & 25 \end{vmatrix}$$

1. Шаг 1: Обнуление первого столбца.

Применим преобразования строк: $R_2 \to R_2 + 3R_1$, $R_3 \to R_3 - R_1$, $R_4 \to R_4 + 2R_1$.

  $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 4 & 25 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 13 & -2 & 33 \end{vmatrix}$$

1. Шаг 2: Упрощение второго столбца.

Поменяем местами вторую и третью строки (знак определителя меняется на противоположный):

  $$D = - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 8 & 4 & 25 \\ 0 & 13 & -2 & 33 \end{vmatrix}$$
  Теперь обнулим элементы под $-4$ во второй строке: $R_3 \to R_3 + 2R_2$, $R_4 \to R_4 + \frac{13}{4}R_2$.
  $$D = - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 18 & 25 \\ 0 & 0 & 20.75 & 33 \end{vmatrix}$$

1. Шаг 3: Финальный расчет.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали. Для блока $2 \times 2$ внизу справа:

  $$\Delta = 18 \cdot 33 - 25 \cdot 20.75 = 594 - 518.75 = 75.25$$
  Итоговое значение:
  $$D = -1 \cdot (1 \cdot (-4) \cdot 75.25) = 4 \cdot 75.25 = 301$$

Ответ: 301

—

Вычислить определитель: $$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 4 & 3 \\ -3 & 0 & -8 & -13 \end{vmatrix}$$

1. Шаг 1: Обнуление первого столбца.

Применим преобразования: $R_2 \to R_2 - R_1$, $R_3 \to R_3 + R_1$, $R_4 \to R_4 + 3R_1$.

  $$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -2 & 5 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & -3 & -5 & -19 \end{vmatrix}$$

1. Шаг 2: Упрощение второго столбца.

Поменяем местами вторую и третью строки (знак меняется):

  $$D = - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & -2 & 5 \\ 0 & -3 & -5 & -19 \end{vmatrix}$$
  Обнулим элементы под $-2$: $R_3 \to R_3 + 2R_2$, $R_4 \to R_4 - 1.5R_2$.
  $$D = - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & -12.5 & -20.5 \end{vmatrix}$$

1. Шаг 3: Финальный расчет.

Вычисляем определитель нижнего блока $2 \times 2$:

  $$\Delta = 8 \cdot (-20.5) - 7 \cdot (-12.5) = -164 + 87.5 = -76.5$$
  Итоговое значение:
  $$D = -1 \cdot (1 \cdot (-2) \cdot (-76.5)) = -1 \cdot (153) = -153$$

Ответ: -153 ```