Это старая версия документа!

Вычислим определители матриц $4 \times 4$ методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса).

—

### Пункт а)

Вычислим определитель: $$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -3 & 2 & -5 & 13 \\ 1 & -2 & 10 & 4 \\ -2 & 9 & -8 & 25 \end{vmatrix}$$

Шаг 1: Обнулим первый столбец под первой строкой.**

К 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на $3$.

Из 3-й строки вычтем 1-ю.

К 4-й строке прибавим 1-ю, умноженную на $2$.

$$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 8 & 4 & 25 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 13 & -2 & 33 \end{vmatrix}$$

Шаг 2: Обнулим второй столбец под второй строкой. * К 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на $0.5$ (или сначала поменяем строки для удобства). * Пусть для простоты: ко 2-й строке прибавим 3-ю, умноженную на $2$.

$$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 18 & 25 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 13 & -2 & 33 \end{vmatrix}$$

Поменяем 2-ю и 3-ю строки местами (знак определителя меняется на $-$): $$D = - \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -4 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 18 & 25 \\ 0 & 13 & -2 & 33 \end{vmatrix}$$

Шаг 3: Продолжим упрощение. * К 4-й строке прибавим 2-ю, умноженную на $\frac{13}{4} = 3.25$:

  $13 + (-4 \cdot 3.25) = 0$
  $-2 + (7 \cdot 3.25) = -2 + 22.75 = 20.75$
  $33 + (0 \cdot 3.25) = 33$

$$D = - \begin{vmatrix} 1 & -4 & 7 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 18 & 25 \\ 0 & 0 & 20.75 & 33 \end{vmatrix} \text{ (для порядка } 2 \times 2 \text{ внизу)}$$

Вычислим оставшийся минор $2 \times 2$: $18 \cdot 33 - 25 \cdot 20.75 = 594 - 518.75 = 75.25$

Умножим на $(-1)$ от перестановки и на $(-4)$ из диагонали: $D = -1 \cdot (1 \cdot (-4) \cdot 75.25) = 4 \cdot 75.25 = 301$

Ответ а): $301$

—

### Пункт б)

Вычислим определитель: $$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 4 & 3 \\ -3 & 0 & -8 & -13 \end{vmatrix}$$

Шаг 1: Обнулим первый столбец. * Из 2-й строки вычтем 1-ю. * К 3-й строке прибавим 1-ю. * К 4-й строке прибавим 1-ю, умноженную на $3$.

$$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -2 & 5 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & -3 & -5 & -19 \end{vmatrix}$$

Шаг 2: Обнулим второй столбец. * Поменяем 2-ю и 3-ю строки (знак $-$): $$D = - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & -2 & 5 \\ 0 & -3 & -5 & -19 \end{vmatrix}$$ * К 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на $2$. * Из 4-й строки вычтем 2-ю, умноженную на $1.5$.

$$D = - \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & -12.5 & -20.5 \end{vmatrix}$$

Шаг 3: Финальный расчет. Вычислим определитель нижней части $2 \times 2$: $8 \cdot (-20.5) - 7 \cdot (-12.5) = -164 + 87.5 = -76.5$

Итоговое значение: $D = -1 \cdot (1 \cdot (-2) \cdot (-76.5)) = -1 \cdot 153 = -153$

Ответ б): $-153$