Вычисление определителей (задание 12.3)

Вычислить определитель порядка $(n+1) \times (n+1)$: $$D_{n+1} = \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-1} & a_n \\ -y_1 & x_1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & -y_2 & x_2 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -y_n & x_n \end{vmatrix}$$

Для решения такого типа задач лучше всего использовать метод рекуррентных соотношений. Мы разложим определитель по последнему столбцу, чтобы свести его к определителю меньшего порядка.

1. Разложим определитель по последнему (n+1)-му столбцу. В нем всего два ненулевых элемента: $a_n$ и $x_n$.
2. Согласно правилу разложения:

$$D_{n+1} = a_n \cdot (-1)^{1+(n+1)} \cdot M_{1, n+1} + x_n \cdot (-1)^{(n+1)+(n+1)} \cdot D_n$$

1. Минор $M_{1, n+1}$ получается вычеркиванием первой строки и последнего столбца. Это нижнетреугольная матрица порядка $n$ с элементами $-y_1, -y_2, \dots, -y_n$ на главной диагонали. Её определитель равен их произведению:

$$M_{1, n+1} = (-y_1)(-y_2)\dots(-y_n) = (-1)^n \prod_{i=1}^n y_i$$

1. Подставим это в формулу:

$$D_{n+1} = a_n \cdot (-1)^{n+2} \cdot (-1)^n \prod y_i + x_n D_n = a_n \prod_{i=1}^n y_i + x_n D_n$$

1. Раскрывая это рекуррентное соотношение до конца (от $D_n$ до $D_1 = a_0$), получаем искомую сумму.

Ответ: $a_0 x_1 x_2 \dots x_n + a_1 y_1 x_2 \dots x_n + a_2 y_1 y_2 x_3 \dots x_n + \dots + a_n y_1 y_2 \dots y_n$

—

Вычислить определитель: $$D_{n+1} = \begin{vmatrix} a_0 & -1 & 0 & \dots & 0 \\ a_1 & x & -1 & \dots & 0 \\ a_2 & 0 & x & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & 0 & 0 & \dots & x \end{vmatrix}$$

Здесь удобнее всего использовать разложение по последней строке. Это позволит получить простое рекуррентное соотношение, связывающее определитель порядка $n+1$ с определителем порядка $n$.

1. Разложим определитель по последней строке. В ней ненулевые элементы — это $a_n$ (в первом столбце) и $x$ (на главной диагонали).
2. Формула разложения:

$$D_{n+1} = a_n \cdot (-1)^{(n+1)+1} \cdot M_{n+1, 1} + x \cdot (-1)^{(n+1)+(n+1)} \cdot D_n$$

1. Минор $M_{n+1, 1}$ — это определитель верхней треугольной матрицы порядка $n$ с числами $-1$ на главной диагонали. Следовательно:

$$M_{n+1, 1} = (-1)^n$$

1. Подставляем в уравнение:

$$D_{n+1} = a_n \cdot (-1)^{n+2} \cdot (-1)^n + x D_n = a_n \cdot (-1)^{2n+2} + x D_n = a_n + x D_n$$

1. Получаем цепочку:
   • $D_1 = a_0$
   • $D_2 = x D_1 + a_1 = a_0 x + a_1$
   • $D_3 = x D_2 + a_2 = a_0 x^2 + a_1 x + a_2$
2. Обобщая для порядка $n+1$:

$$D_{n+1} = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1} x + a_n$$

Ответ: $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n$

$$\begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} & a_n \\ -a_1 & x_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a_2 & 0 & x_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -y_n & x_n \end{vmatrix}$$

Решение. Обозначим размер матрицы $N = n+1$. Для вычисления определителя воспользуемся разложением по последней строке. В последней строке только два ненулевых элемента: $-y_n$ в столбце $n-1$ и $x_n$ в столбце $n$. Тогда $$\det = y_n \cdot M_{n,\,n-1} + x_n \cdot M_{n,\,n},$$ где $M_{n,\,n-1}$ – минор, получаемый вычёркиванием последней строки и $(n-1)$-го столбца, а $M_{n,\,n}$ – минор без последней строки и последнего столбца.

Вычисление $M_{n,n}$. Это определитель матрицы размера $n$, состоящей из строк $0,\dots,n-1$ и столбцов $0,\dots,n-1$. Она имеет вид: $$ \begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1} \\ -a_1 & x_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n-1} & 0 & \cdots & x_{n-1} \end{pmatrix}. $$ Её определитель можно найти, например, разложением по первому столбцу. Получается рекуррентная формула, приводящая к результату: $$M_{n,n}= a_0\prod_{i=1}^{n-1}x_i + \sum_{i=1}^{n-1} a_i^2 \prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^{n-1} x_j.$$

Вычисление $M_{n,n-1}$. Этот минор получается вычёркиванием последней строки и $(n-1)$-го столбца. Оставшаяся матрица имеет размер $n$; её последний столбец (исходный $n$-й) содержит единственный ненулевой элемент $a_n$ в первой строке. Разлагая по этому столбцу, находим: $$M_{n,n-1}= a_n\cdot (-1)^{n-1} \cdot M',$$ где $M'$ – определитель матрицы, получаемой после дополнительного вычёркивания первой строки и $n$-го столбца. Эта матрица имеет размер $n-1$ и структуру, аналогичную предыдущей, но с последней строкой, содержащей только $-a_{n-1}$ в первом столбце. Её определитель равен $(-1)^{n+1}a_{n-1}\prod_{i=1}^{n-2}x_i$. В итоге $$M_{n,n-1}= a_{n-1}a_n \prod_{i=1}^{n-2}x_i.$$

Подставляя полученные выражения, получаем общую формулу.

Ответ. - При $n=1$: $\det = a_0x_1 + a_1y_1$. - При $n\ge 2$: $$\det = a_0x_n\prod_{i=1}^{n-1}x_i + \sum_{i=1}^{n-2} a_i^2 x_n \prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^{n-1}x_j + a_{n-1}\bigl(x_n a_{n-1}+y_n a_n\bigr)\prod_{j=1}^{n-2}x_j.$$

$$\begin{vmatrix} a_0 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ a_1 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ a_2 & 0 & x & -1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n-1} & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 & x \end{vmatrix}$$

Решение. Обозначим искомый определитель через $D_n$ (матрица порядка $n+1$). Разложим его по последней строке. Элемент $a_n$ стоит в первом столбце, а $x$ – на последнем месте. Получаем: $$D_n = a_n (-1)^n M_{n0} + x D_{n-1},$$ где $M_{n0}$ – минор, получаемый вычёркиванием последней строки и первого столбца. Анализ структуры этого минора показывает, что он равен $(-1)^n$. Действительно, для $n=1$ имеем $M_{10}=-1=(-1)^1$, для $n=2$: $M_{20}=1=(-1)^2$, и по индукции $M_{n0}=(-1)^n$. Тогда $$D_n = a_n (-1)^n \cdot (-1)^n + x D_{n-1} = a_n + x D_{n-1}.$$ При $n=0$ (матрица $1\times1$) $D_0 = a_0$. Последовательно получаем: $$D_n = a_n + x(a_{n-1}+ xD_{n-2}) = \ldots = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n.$$

Ответ. $$\det = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n.$$