Вычисление определителей (задание 12.3)

Вычислить определитель порядка $(n+1) \times (n+1)$: $$D_{n+1} = \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \dots & a_{n-1} & a_n \\ -y_1 & x_1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & -y_2 & x_2 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & x_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & -y_n & x_n \end{vmatrix}$$

Для решения такого типа задач лучше всего использовать метод рекуррентных соотношений. Мы разложим определитель по последнему столбцу, чтобы свести его к определителю меньшего порядка.

1. Разложим определитель по последнему (n+1)-му столбцу. В нем всего два ненулевых элемента: $a_n$ и $x_n$.
2. Согласно правилу разложения:

$$D_{n+1} = a_n \cdot (-1)^{1+(n+1)} \cdot M_{1, n+1} + x_n \cdot (-1)^{(n+1)+(n+1)} \cdot D_n$$

1. Минор $M_{1, n+1}$ получается вычеркиванием первой строки и последнего столбца. Это нижнетреугольная матрица порядка $n$ с элементами $-y_1, -y_2, \dots, -y_n$ на главной диагонали. Её определитель равен их произведению:

$$M_{1, n+1} = (-y_1)(-y_2)\dots(-y_n) = (-1)^n \prod_{i=1}^n y_i$$

1. Подставим это в формулу:

$$D_{n+1} = a_n \cdot (-1)^{n+2} \cdot (-1)^n \prod y_i + x_n D_n = a_n \prod_{i=1}^n y_i + x_n D_n$$

1. Раскрывая это рекуррентное соотношение до конца (от $D_n$ до $D_1 = a_0$), получаем искомую сумму.

Ответ: $a_0 x_1 x_2 \dots x_n + a_1 y_1 x_2 \dots x_n + a_2 y_1 y_2 x_3 \dots x_n + \dots + a_n y_1 y_2 \dots y_n$

—

Вычислить определитель: $$D_{n+1} = \begin{vmatrix} a_0 & -1 & 0 & \dots & 0 \\ a_1 & x & -1 & \dots & 0 \\ a_2 & 0 & x & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & 0 & 0 & \dots & x \end{vmatrix}$$

Здесь удобнее всего использовать разложение по последней строке. Это позволит получить простое рекуррентное соотношение, связывающее определитель порядка $n+1$ с определителем порядка $n$.

1. Разложим определитель по последней строке. В ней ненулевые элементы — это $a_n$ (в первом столбце) и $x$ (на главной диагонали).
2. Формула разложения:

$$D_{n+1} = a_n \cdot (-1)^{(n+1)+1} \cdot M_{n+1, 1} + x \cdot (-1)^{(n+1)+(n+1)} \cdot D_n$$

1. Минор $M_{n+1, 1}$ — это определитель верхней треугольной матрицы порядка $n$ с числами $-1$ на главной диагонали. Следовательно:

$$M_{n+1, 1} = (-1)^n$$

1. Подставляем в уравнение:

$$D_{n+1} = a_n \cdot (-1)^{n+2} \cdot (-1)^n + x D_n = a_n \cdot (-1)^{2n+2} + x D_n = a_n + x D_n$$

1. Получаем цепочку:
   • $D_1 = a_0$
   • $D_2 = x D_1 + a_1 = a_0 x + a_1$
   • $D_3 = x D_2 + a_2 = a_0 x^2 + a_1 x + a_2$
2. Обобщая для порядка $n+1$:

$$D_{n+1} = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_{n-1} x + a_n$$

Ответ: $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \dots + a_n$