Условие. Доказать, что следующие уравнения определяют поверхности, распадающиеся на пару плоскостей, и найти эти плоскости:

1) \( y^2 + 2xy + 4xz + 2yz - 4x - 2y = 0 \);

2) \( x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 4xy + 6xz - 12yz - x + 2y - 3z - 6 = 0 \).

—

Квадратичная часть уравнения: \(y^2 + 2xy + 4xz + 2yz\). Разложим её на множители. Представим в виде \((y + 2z)(2x + y)\), так как \[ (y+2z)(2x+y) = 2xy + y^2 + 4xz + 2yz. \] Тогда уравнение перепишем как \[ (y+2z)(2x+y) - 4x - 2y = 0. \] Попытаемся представить левую часть в виде произведения двух линейных функций. Пусть ищем множители вида \((y+2z + \alpha)(2x+y + \beta)\). Раскроем: \[ (y+2z+\alpha)(2x+y+\beta) = (y+2z)(2x+y) + \alpha(2x+y) + \beta(y+2z) + \alpha\beta. \] Сравнивая с исходным выражением \((y+2z)(2x+y) - 4x - 2y\), получаем систему: \[ \begin{cases} 2\alpha = -4, \\ \alpha + \beta = -2, \\ 2\beta = 0. \end{cases} \] Из третьего уравнения \(\beta = 0\); из первого \(\alpha = -2\); второе выполняется: \(-2+0 = -2\). Таким образом, \[ (y+2z-2)(2x+y) = (y+2z)(2x+y) - 4x - 2y. \] Исходное уравнение эквивалентно \[ (y+2z-2)(2x+y)=0. \] Следовательно, оно распадается на две плоскости: \[ 2x + y = 0 \quad \text{и} \quad y + 2z - 2 = 0. \]

Квадратичная часть: \(x^2 + 4y^2 + 9z^2 - 4xy + 6xz - 12yz\). Заметим, что это полный квадрат: \[ (x - 2y + 3z)^2 = x^2 + 4y^2 + 9z^2 -4xy +6xz -12yz. \] Тогда уравнение принимает вид \[ (x - 2y + 3z)^2 - x + 2y - 3z - 6 = 0. \] Введём обозначение \(u = x - 2y + 3z\). Тогда \(-x + 2y - 3z = -u\). Получаем \[ u^2 - u - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad (u-3)(u+2)=0. \] Возвращаясь к \(x,y,z\), имеем \[ (x - 2y + 3z - 3)(x - 2y + 3z + 2) = 0. \] Таким образом, уравнение распадается на две параллельные плоскости: \[ x - 2y + 3z = 3 \quad \text{и} \quad x - 2y + 3z = -2. \]

—

Ответ. 1) Плоскости: \(2x + y = 0\) и \(y + 2z - 2 = 0\). 2) Плоскости: \(x - 2y + 3z = 3\) и \(x - 2y + 3z = -2\).