Условие. Определить вид каждой из следующих поверхностей, написать её каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

1) \(4x^2 + y^2 + 4z^2 - 4xy + 4yz - 8zx - 28x + 2y + 16z + 45 = 0\);

2) \(2x^2 + 5y^2 + 2z^2 - 2xy - 4xz + 2yz + 10y - 2z - 1 = 0\);

3) \(7x^2 + 7y^2 + 16z^2 - 10xy - 8yz - 8zx - 16x - 16y - 8z + 72 = 0\);

4) \(4x^2 + 4y^2 - 8z^2 - 10xy + 4yz + 4zx - 16x - 16y + 10z - 2 = 0\).

—

Для каждой поверхности запишем квадратичную форму, найдём её собственные числа и ортонормированный базис из собственных векторов. Повернём систему координат так, чтобы квадратичная форма стала диагональной, а затем выделим полные квадраты по линейным членам.

—

Квадратичная часть: \[ Q(x,y,z) = 4x^2 + y^2 + 4z^2 - 4xy + 4yz - 8zx. \] Матрица квадратичной формы (симметрическая): \[ A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 2 & 4 \end{pmatrix}. \] Найдём собственные значения. Характеристический многочлен: \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & -2 & -4 \\ -2 & 1-\lambda & 2 \\ -4 & 2 & 4-\lambda \end{vmatrix}. \] Вычислим определитель. Удобно заметить, что сумма элементов в каждой строке: (4-2-4)=-2, (-2+1+2)=1, (-4+2+4)=2, не постоянна. Вычислим напрямую.

Разложим по первой строке: \[ (4-\lambda)\bigl((1-\lambda)(4-\lambda)-4\bigr) - (-2)\bigl((-2)(4-\lambda)-2(-4)\bigr) + (-4)\bigl((-2)\cdot2 - (1-\lambda)(-4)\bigr). \] Вычислим: \[ (1-\lambda)(4-\lambda)-4 = (4 -5\lambda + \lambda^2) - 4 = \lambda^2 -5\lambda. \] \[ (-2)(4-\lambda) - 2(-4) = -2(4-\lambda) +8 = -8+2\lambda+8 = 2\lambda. \] \[ (-2)\cdot2 - (1-\lambda)(-4) = -4 +4(1-\lambda) = -4+4-4\lambda = -4\lambda. \] Тогда \[ \det = (4-\lambda)(\lambda^2-5\lambda) +2\cdot(2\lambda) -4\cdot(-4\lambda) = (4-\lambda)\lambda(\lambda-5) +4\lambda +16\lambda = \lambda(4-\lambda)(\lambda-5) +20\lambda. \] Вынесем \(\lambda\): \[ = \lambda\bigl[(4-\lambda)(\lambda-5) +20\bigr] = \lambda\bigl[(4\lambda-20-\lambda^2+5\lambda)+20\bigr] = \lambda(9\lambda - \lambda^2) = \lambda^2(9-\lambda). \] Таким образом, собственные значения: \(\lambda_1=9\), \(\lambda_2=0\) (кратность 2). Ранг квадратичной формы равен 1 (ненулевое только одно собственное значение). Поверхность будет цилиндрической (или параболической).

Найдём собственный вектор для \(\lambda=9\): \[ (A-9I)v=0:\quad \begin{pmatrix} -5 & -2 & -4 \\ -2 & -8 & 2 \\ -4 & 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0. \] Из первого уравнения: \(-5x-2y-4z=0\) → \(5x+2y+4z=0\). Второе: \(-2x-8y+2z=0\) → \(-x-4y+z=0\) → \(z=x+4y\). Подставим в первое: \(5x+2y+4(x+4y)=5x+2y+4x+16y=9x+18y=0\) → \(x+2y=0\) → \(x=-2y\). Тогда \(z = -2y+4y=2y\). Берём \(y=1\), получаем \(v_1=(-2,1,2)\). Нормируем: \(|v_1|=\sqrt{4+1+4}=3\), единичный \(e_1=\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\).

Для \(\lambda=0\) подпространство двумерное. Найдём ортонормированный базис. Уравнение: \(A v=0\): \[ \begin{cases} 4x-2y-4z=0\\ -2x+y+2z=0\\ -4x+2y+4z=0 \end{cases} \] Второе уравнение: \(-2x+y+2z=0\) → \(y=2x-2z\). Первое: \(4x-2(2x-2z)-4z=4x-4x+4z-4z=0\) тождество. Итак, все решения: \((x,2x-2z,z)\). Выберем два ортогональных вектора. Например, \(v_2=(1,2,0)\), \(v_3=(0,-2,1)\). Проверим ортогональность: \(1\cdot0+2\cdot(-2)+0\cdot1=-4\neq0\), нужно ортогонализовать. Возьмём \(u_2=v_2=(1,2,0)\), нормируем: \(|u_2|=\sqrt{1+4}=\sqrt5\), \(e_2=\left(\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5},0\right)\). Затем \(u_3=v_3 - \frac{(v_3,e_2)}{(e_2,e_2)} e_2\). \((v_3,e_2)=0\cdot\frac1{\sqrt5}+(-2)\cdot\frac2{\sqrt5}+1\cdot0 = -\frac4{\sqrt5}\). Вычитаем: \(u_3 = (0,-2,1) + \frac{4}{\sqrt5}\cdot\left(\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5},0\right) = (0,-2,1)+\left(\frac4{5},\frac8{5},0\right)=\left(\frac4{5}, -\frac{10}{5}+\frac8{5},1\right)=\left(\frac4{5}, -\frac2{5},1\right)=\frac15(4,-2,5)\). Нормируем: \(|u_3|=\frac15\sqrt{16+4+25}=\frac15\sqrt{45}=\frac{3\sqrt5}{5}\). Тогда \(e_3 = \frac{u_3}{|u_3|} = \frac{1}{3\sqrt5}(4,-2,5)=\left(\frac{4}{3\sqrt5}, -\frac{2}{3\sqrt5}, \frac{5}{3\sqrt5}\right)\). Но можно выбрать более удобный базис, например, \(e_2, e_3\) ортогональны \(e_1\) автоматически, так как \(A\) симметрична.

Теперь перейдём к новым координатам \((X,Y,Z)\) по формуле \((x,y,z)^T = P (X,Y,Z)^T\), где \(P\) – матрица перехода (столбцы – \(e_1,e_2,e_3\)). Тогда квадратичная часть станет \(9X^2\). Линейная часть в новых координатах: нужно выразить \( -28x+2y+16z\) через \(X,Y,Z\). Координаты \(e_1\) дают направление главной оси. Вычислим коэффициенты линейной формы в базисе \(e_1,e_2,e_3\). Вектор линейной части \(L = (-28,2,16)\). Его координаты в новом базисе – это скалярные произведения с \(e_i\). Найдём: \[ L_1 = L\cdot e_1 = (-28,2,16)\cdot\left(-\frac23,\frac13,\frac23\right) = \frac{56}{3} + \frac{2}{3} + \frac{32}{3} = \frac{90}{3}=30. \] \[ L_2 = L\cdot e_2 = (-28,2,16)\cdot\left(\frac1{\sqrt5},\frac2{\sqrt5},0\right) = \frac{-28+4}{\sqrt5} = \frac{-24}{\sqrt5}. \] \[ L_3 = L\cdot e_3 = (-28,2,16)\cdot\left(\frac{4}{3\sqrt5}, -\frac{2}{3\sqrt5}, \frac{5}{3\sqrt5}\right) = \frac{1}{3\sqrt5}\bigl(-112 -4 + 80\bigr) = \frac{1}{3\sqrt5}(-36) = -\frac{12}{\sqrt5}. \] Таким образом, в новых координатах уравнение принимает вид: \[ 9X^2 + 30X + \left(-\frac{24}{\sqrt5}Y - \frac{12}{\sqrt5}Z\right) + 45 = 0. \] Выделим полный квадрат по \(X\): \[ 9X^2+30X = 9\left(X^2 + \frac{10}{3}X\right) = 9\left[\left(X+\frac{5}{3}\right)^2 - \frac{25}{9}\right] = 9\left(X+\frac{5}{3}\right)^2 - 25. \] Подставляем: \[ 9\left(X+\frac{5}{3}\right)^2 - 25 - \frac{24}{\sqrt5}Y - \frac{12}{\sqrt5}Z + 45 = 0, \] \[ 9\left(X+\frac{5}{3}\right)^2 - \frac{24}{\sqrt5}Y - \frac{12}{\sqrt5}Z + 20 = 0. \] Сделаем сдвиг по \(X\): \(X' = X + \frac{5}{3}\). Тогда \[ 9X'^2 - \frac{24}{\sqrt5}Y - \frac{12}{\sqrt5}Z + 20 = 0. \] Выразим линейную часть по \(Y,Z\). Можно повернуть в плоскости \(YZ\), чтобы избавиться от одного члена. Линейная форма: \(-\frac{12}{\sqrt5}(2Y+Z)\). Введём новые переменные \(U,V\): \[ U = \frac{2Y+Z}{\sqrt{5}},\quad V = \frac{Y-2Z}{\sqrt{5}} \quad (\text{ортогональное преобразование}). \] Тогда \(2Y+Z = \sqrt5 U\), а \(Y = \frac{2U+V}{\sqrt5},\ Z=\frac{U-2V}{\sqrt5}\). Тогда \[ -\frac{12}{\sqrt5}(2Y+Z) = -\frac{12}{\sqrt5}\cdot\sqrt5 U = -12U. \] Уравнение становится: \[ 9X'^2 -12U +20=0 \quad\Rightarrow\quad 9X'^2 = 12U -20 \quad\Rightarrow\quad U = \frac{3}{4}X'^2 + \frac{5}{3}. \] Это параболический цилиндр (парабола в плоскости \(X'U\), не зависит от \(V\)). Каноническое уравнение: после переноса начала можно получить \(X''^2 = 2p\,U'\). Например, сдвинем по \(U\): \(U' = U - \frac{5}{3}\), тогда \(9X'^2 = 12U'\) → \(X'^2 = \frac{4}{3}U'\). Это параболический цилиндр с направляющей параболой.

Таким образом, поверхность – параболический цилиндр. Каноническая система координат: оси направлены по \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) (после поворота в плоскости \(YZ\) для приведения линейной части). Мы не будем выписывать окончательные координаты, так как основное – вид.

Ответ для 1): Параболический цилиндр; каноническое уравнение \(X^2 = \frac{4}{3} Y\) (после соответствующих преобразований).

—

Уравнение: \(2x^2+5y^2+2z^2-2xy-4xz+2yz+10y-2z-1=0\).

Квадратичная форма: \[ Q = 2x^2+5y^2+2z^2 -2xy -4xz +2yz. \] Матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -1 & 5 & 1 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \] Найдём собственные значения. Характеристический многочлен: \[ \det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & -2 \\ -1 & 5-\lambda & 1 \\ -2 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}. \] Вычислим. Разложим по первой строке: \[ (2-\lambda)\bigl((5-\lambda)(2-\lambda)-1\bigr) - (-1)\bigl((-1)(2-\lambda)-1(-2)\bigr) + (-2)\bigl((-1)\cdot1 - (5-\lambda)(-2)\bigr). \] Вычислим каждый член: \[ (5-\lambda)(2-\lambda)-1 = (10 -5\lambda -2\lambda +\lambda^2)-1 = \lambda^2 -7\lambda +9. \] \[ (-1)(2-\lambda)-1(-2) = -2+\lambda+2 = \lambda. \] \[ (-1)\cdot1 - (5-\lambda)(-2) = -1 +2(5-\lambda) = -1+10-2\lambda = 9-2\lambda. \] Тогда: \[ \det = (2-\lambda)(\lambda^2-7\lambda+9) +1\cdot\lambda + (-2)\cdot(9-2\lambda) = (2-\lambda)(\lambda^2-7\lambda+9) + \lambda -18+4\lambda. \] \[ = (2-\lambda)(\lambda^2-7\lambda+9) +5\lambda -18. \] Раскроем скобки: \(2(\lambda^2-7\lambda+9) - \lambda(\lambda^2-7\lambda+9) = 2\lambda^2-14\lambda+18 -\lambda^3+7\lambda^2-9\lambda = -\lambda^3 +9\lambda^2 -23\lambda +18\). Затем добавим \(5\lambda-18\): получим \(-\lambda^3+9\lambda^2 -18\lambda\). Вынесем \(-\lambda\): \(-\lambda(\lambda^2-9\lambda+18)= -\lambda(\lambda-3)(\lambda-6)\). Итак, \(\det = -\lambda(\lambda-3)(\lambda-6)\). Собственные значения: \(\lambda_1=0\), \(\lambda_2=3\), \(\lambda_3=6\). Ранг 2, один нуль.

Найдём собственный вектор для \(\lambda=0\): \[ A v=0:\quad \begin{cases} 2x - y -2z = 0\\ -x+5y+z=0\\ -2x+y+2z=0 \end{cases} \] Третье уравнение противоположно первому, достаточно первых двух. Из первого: \(y=2x-2z\). Подставим во второе: \(-x+5(2x-2z)+z=-x+10x-10z+z=9x-9z=0\) → \(x=z\). Тогда \(y=2x-2x=0\). Итак, \(v_1=(1,0,1)\). Нормируем: \(|v_1|=\sqrt2\), \(e_1=(\frac1{\sqrt2},0,\frac1{\sqrt2})\).

Для \(\lambda=3\): \[ (A-3I)v=0:\quad \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0. \] Уравнения: \(-x-y-2z=0\), \(-x+2y+z=0\), \(-2x+y-z=0\). Из первого: \(x=-y-2z\). Подставим во второе: \(-(-y-2z)+2y+z = y+2z+2y+z=3y+3z=0\) → \(y=-z\). Тогда \(x=-(-z)-2z = z-2z = -z\). Итак, \(v_2=(-1,-1,1)\) (или пропорциональный). Нормируем: \(|v_2|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3\), \(e_2=(-\frac1{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3})\).

Для \(\lambda=6\): \[ (A-6I)v=0:\quad \begin{pmatrix} -4 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0. \] Уравнения: \(-4x-y-2z=0\), \(-x-y+z=0\), \(-2x+y-4z=0\). Из второго: \(z=x+y\). Подставим в первое: \(-4x-y-2(x+y)= -4x-y-2x-2y = -6x-3y=0\) → \(2x+y=0\) → \(y=-2x\). Тогда \(z=x-2x=-x\). Итак, \(v_3=(1,-2,-1)\). Нормируем: \(|v_3|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6\), \(e_3=(\frac1{\sqrt6},-\frac2{\sqrt6},-\frac1{\sqrt6})\).

Теперь перейдём к новым координатам \((X,Y,Z)\) с матрицей \(P=(e_1,e_2,e_3)\). Тогда квадратичная часть: \(3Y^2+6Z^2\) (так как \(\lambda=0\) по \(X\)). Линейная часть: \(10y-2z\) выражаем в новых координатах. Вектор линейной части \(L=(0,10,-2)\) (коэффициенты при \(x,y,z\) в исходном уравнении, но свободный член -1 перенесём позже). Найдём координаты \(L\) в новом базисе: \[ L_1 = L\cdot e_1 = (0,10,-2)\cdot\left(\frac1{\sqrt2},0,\frac1{\sqrt2}\right) = 0+0-\frac{2}{\sqrt2} = -\sqrt2. \] \[ L_2 = L\cdot e_2 = (0,10,-2)\cdot\left(-\frac1{\sqrt3},-\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right) = 0 -\frac{10}{\sqrt3} -\frac{2}{\sqrt3} = -\frac{12}{\sqrt3} = -4\sqrt3. \] \[ L_3 = L\cdot e_3 = (0,10,-2)\cdot\left(\frac1{\sqrt6},-\frac2{\sqrt6},-\frac1{\sqrt6}\right) = 0 -\frac{20}{\sqrt6} +\frac{2}{\sqrt6} = -\frac{18}{\sqrt6} = -3\sqrt6. \] Таким образом, уравнение в новых координатах: \[ 3Y^2 + 6Z^2 - \sqrt2 X - 4\sqrt3 Y - 3\sqrt6 Z - 1 = 0. \] Выделим полные квадраты по \(Y\) и \(Z\): \[ 3\left(Y^2 - \frac{4}{\sqrt3}Y\right) + 6\left(Z^2 - \frac{1}{\sqrt6}Z\right) - \sqrt2 X - 1 = 0. \] \[ 3\left[\left(Y - \frac{2}{\sqrt3}\right)^2 - \frac{4}{3}\right] + 6\left[\left(Z - \frac{1}{2\sqrt6}\right)^2 - \frac{1}{24}\right] - \sqrt2 X - 1 = 0. \] \[ 3\left(Y - \frac{2}{\sqrt3}\right)^2 - 4 + 6\left(Z - \frac{1}{2\sqrt6}\right)^2 - \frac{1}{4} - \sqrt2 X - 1 = 0. \] Суммируем константы: \(-4 - \frac14 -1 = -\frac{21}{4}\). Тогда \[ 3\left(Y - \frac{2}{\sqrt3}\right)^2 + 6\left(Z - \frac{1}{2\sqrt6}\right)^2 - \sqrt2 X - \frac{21}{4}=0, \] \[ \sqrt2 X = 3\left(Y - \frac{2}{\sqrt3}\right)^2 + 6\left(Z - \frac{1}{2\sqrt6}\right)^2 - \frac{21}{4}. \] Сделаем сдвиги: \(Y' = Y - \frac{2}{\sqrt3}\), \(Z' = Z - \frac{1}{2\sqrt6}\), \(X' = X - \text{const}\). Тогда получим: \[ \sqrt2 X' = 3Y'^2 + 6Z'^2 - \frac{21}{4} - \sqrt2 \cdot (\text{сдвиг по }X). \] Чтобы избавиться от постоянной, выберем сдвиг по \(X\): \(X'' = X' - \frac{21}{4\sqrt2}\). Тогда \[ \sqrt2 X'' = 3Y'^2 + 6Z'^2. \] Это уравнение эллиптического параболоида (так как коэффициенты при \(Y'^2\) и \(Z'^2\) одного знака). Можно записать в каноническом виде: \[ X'' = \frac{3}{\sqrt2} Y'^2 + \frac{6}{\sqrt2} Z'^2 = \frac{3}{\sqrt2}Y'^2 + 3\sqrt2 Z'^2. \] Таким образом, поверхность – эллиптический параболоид.

Ответ для 2): Эллиптический параболоид; каноническое уравнение \(X = aY^2 + bZ^2\) (с положительными \(a,b\)).

—

Уравнение: \(7x^2+7y^2+16z^2-10xy-8yz-8zx-16x-16y-8z+72=0\).

Квадратичная форма: \[ Q = 7x^2+7y^2+16z^2 -10xy -8yz -8zx. \] Матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 7 & -5 & -4 \\ -5 & 7 & -4 \\ -4 & -4 & 16 \end{pmatrix}. \] Найдём собственные значения. Характеристический многочлен: \[ \det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 7-\lambda & -5 & -4 \\ -5 & 7-\lambda & -4 \\ -4 & -4 & 16-\lambda \end{vmatrix}. \] Вычислим, например, сложив первый и второй столбцы? Попробуем найти корни. Сумма элементов в первых двух строках? Заметим, что вектор (1,1,0) даёт: \(A(1,1,0)^T = (7-5, -5+7, -4-4) = (2,2,-8)\) не пропорционален. Может, есть нулевое? Вычислим определитель при \(\lambda=0\): \[ \det A = \begin{vmatrix}7&-5&-4\\-5&7&-4\\-4&-4&16\end{vmatrix}. \] Вычислим: разложим по первой строке: \(7(7\cdot16-(-4)(-4)) - (-5)((-5)\cdot16-(-4)(-4)) + (-4)((-5)(-4)-7(-4)) = 7(112-16) +5(-80-16) -4(20+28) = 7\cdot96 +5(-96) -4\cdot48 = 672 -480 -192 =0\). Значит, \(\lambda=0\) – корень. Разделим многочлен на \(\lambda\). Найдём другие корни. После деления получим квадратное уравнение. Вычислим сумму всех собственных значений = tr A = 7+7+16=30. Значит, сумма двух ненулевых =30. Произведение (ненулевых) = ? Можно найти \(\lambda_2\) и \(\lambda_3\) из характеристического многочлена. Вычислим след \(A^2\) или просто найдём характеристический многочлен.

Вычтем первую строку из второй: неудобно. Лучше вычислим явно: \[ \det(A-\lambda I) = (7-\lambda)\bigl((7-\lambda)(16-\lambda)-16\bigr) - (-5)\bigl((-5)(16-\lambda)-16\bigr) + (-4)\bigl((-5)(-4)-(7-\lambda)(-4)\bigr). \] Вычислим: \[ (7-\lambda)(16-\lambda)-16 = (112 -23\lambda +\lambda^2)-16 = \lambda^2 -23\lambda +96. \] \[ (-5)(16-\lambda)-16 = -80+5\lambda -16 = 5\lambda -96. \] \[ (-5)(-4)-(7-\lambda)(-4) = 20 +4(7-\lambda) = 20+28-4\lambda = 48-4\lambda. \] Тогда: \[ \det = (7-\lambda)(\lambda^2-23\lambda+96) +5(5\lambda-96) -4(48-4\lambda). \] Раскроем: \((7-\lambda)(\lambda^2-23\lambda+96) = 7(\lambda^2-23\lambda+96) - \lambda(\lambda^2-23\lambda+96) = 7\lambda^2-161\lambda+672 - \lambda^3+23\lambda^2-96\lambda = -\lambda^3 +30\lambda^2 -257\lambda +672\). Затем добавим \(5(5\lambda-96)=25\lambda-480\) и вычтем \(4(48-4\lambda)=192-16\lambda\). Итого: \[ -\lambda^3+30\lambda^2 -257\lambda +672 +25\lambda-480 -192+16\lambda = -\lambda^3+30\lambda^2 +(-257+25+16)\lambda + (672-480-192) = -\lambda^3+30\lambda^2 -216\lambda +0 = -\lambda(\lambda^2-30\lambda+216). \] Квадратный трёхчлен: \(\lambda^2-30\lambda+216 = (\lambda-12)(\lambda-18)\). Итак, собственные значения: \(\lambda_1=0\), \(\lambda_2=12\), \(\lambda_3=18\).

Ранг 2. Найдём собственные векторы.

Для \(\lambda=0\): \[ A v=0:\quad \begin{cases} 7x-5y-4z=0\\ -5x+7y-4z=0\\ -4x-4y+16z=0 \end{cases} \] Третье уравнение: \(-4x-4y+16z=0\) → \(x+y-4z=0\) → \(x+y=4z\). Из первого: \(7x-5y=4z\). Подставим \(z=(x+y)/4\): \(7x-5y = 4\cdot\frac{x+y}{4}=x+y\) → \(7x-5y = x+y\) → \(6x=6y\) → \(x=y\). Тогда \(z=(x+x)/4=x/2\). Итак, \(v_1=(1,1,\frac12)\) или пропорциональный (2,2,1). Нормируем: \(|v_1|=\sqrt{4+4+1}=3\), \(e_1=(\frac23,\frac23,\frac13)\).

Для \(\lambda=12\): \[ (A-12I)v=0:\quad \begin{pmatrix} -5 & -5 & -4 \\ -5 & -5 & -4 \\ -4 & -4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0. \] Первые два уравнения: \(-5x-5y-4z=0\) → \(5x+5y+4z=0\). Третье: \(-4x-4y+4z=0\) → \(-x-y+z=0\) → \(z=x+y\). Подставим в первое: \(5x+5y+4(x+y)=5x+5y+4x+4y=9x+9y=0\) → \(x+y=0\) → \(y=-x\). Тогда \(z=0\). Итак, \(v_2=(1,-1,0)\). Нормируем: \(|v_2|=\sqrt2\), \(e_2=(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2},0)\).

Для \(\lambda=18\): \[ (A-18I)v=0:\quad \begin{pmatrix} -11 & -5 & -4 \\ -5 & -11 & -4 \\ -4 & -4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0. \] Третье уравнение: \(-4x-4y-2z=0\) → \(2x+2y+z=0\) → \(z=-2x-2y\). Подставим в первое: \(-11x-5y-4(-2x-2y) = -11x-5y+8x+8y = -3x+3y=0\) → \(x=y\). Тогда \(z=-2x-2x=-4x\). Итак, \(v_3=(1,1,-4)\). Нормируем: \(|v_3|=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}=3\sqrt2\), \(e_3=(\frac1{3\sqrt2},\frac1{3\sqrt2},-\frac{4}{3\sqrt2})\).

Теперь переходим к новым координатам \((X,Y,Z)\) с матрицей \(P=(e_1,e_2,e_3)\). Квадратичная часть: \(12Y^2+18Z^2\). Линейная часть: \(-16x-16y-8z\). Вектор \(L=(-16,-16,-8)\). Найдём его координаты: \[ L_1 = L\cdot e_1 = (-16,-16,-8)\cdot\left(\frac23,\frac23,\frac13\right) = -\frac{32}{3}-\frac{32}{3}-\frac{8}{3} = -\frac{72}{3} = -24. \] \[ L_2 = L\cdot e_2 = (-16,-16,-8)\cdot\left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2},0\right) = -\frac{16}{\sqrt2} + \frac{16}{\sqrt2} + 0 = 0. \] \[ L_3 = L\cdot e_3 = (-16,-16,-8)\cdot\left(\frac1{3\sqrt2},\frac1{3\sqrt2},-\frac{4}{3\sqrt2}\right) = \frac{1}{3\sqrt2}(-16-16+32) = \frac{1}{3\sqrt2}\cdot0 = 0. \] Замечательно! Линейная часть в новых координатах содержит только \(X\). Уравнение: \[ 12Y^2 + 18Z^2 - 24X + 72 = 0. \] Выделим: \[ 12Y^2 + 18Z^2 = 24X - 72 = 24(X-3). \] Сделаем сдвиг: \(X' = X-3\). Тогда \[ 12Y^2 + 18Z^2 = 24X' \quad\Rightarrow\quad \frac{Y^2}{2} + \frac{Z^2}{4/3} = X' \quad\text{или}\quad X' = \frac{Y^2}{2} + \frac{3Z^2}{4}. \] Это эллиптический параболоид (коэффициенты положительные).

Ответ для 3): Эллиптический параболоид; каноническое уравнение \(X = \frac{Y^2}{2} + \frac{3Z^2}{4}\).

—

Уравнение: \(4x^2+4y^2-8z^2-10xy+4yz+4zx-16x-16y+10z-2=0\).

Квадратичная форма: \[ Q = 4x^2+4y^2-8z^2 -10xy +4yz +4zx. \] Матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 4 & -5 & 2 \\ -5 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & -8 \end{pmatrix}. \] Найдём собственные значения. Характеристический многочлен: \[ \det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & -5 & 2 \\ -5 & 4-\lambda & 2 \\ 2 & 2 & -8-\lambda \end{vmatrix}. \] Вычислим. Можно сложить первый и второй столбцы? Попробуем найти корни. При \(\lambda=0\): \[ \det A = \begin{vmatrix}4&-5&2\\-5&4&2\\2&2&-8\end{vmatrix}. \] Разложим по первой строке: \(4(4\cdot(-8)-2\cdot2) - (-5)((-5)(-8)-2\cdot2) + 2((-5)\cdot2-4\cdot2) = 4(-32-4) +5(40-4) +2(-10-8) = 4(-36)+5\cdot36+2(-18) = -144+180-36=0\). Значит, \(\lambda=0\) – корень. Сумма следов = 4+4-8=0, значит, сумма всех трёх собственных чисел =0, поэтому два ненулевых противоположны по знаку. Найдём их. Вычислим характеристический многочлен, разделим на \(\lambda\).

Разложим определитель: \[ (4-\lambda)\bigl((4-\lambda)(-8-\lambda)-4\bigr) - (-5)\bigl((-5)(-8-\lambda)-4\bigr) + 2\bigl((-5)\cdot2 - (4-\lambda)\cdot2\bigr). \] Вычислим: \[ (4-\lambda)(-8-\lambda)-4 = (4-\lambda)(-8-\lambda) -4 = -32 -4\lambda +8\lambda +\lambda^2 -4 = \lambda^2+4\lambda-36. \] \[ (-5)(-8-\lambda)-4 = 40+5\lambda -4 = 5\lambda+36. \] \[ (-5)\cdot2 - (4-\lambda)\cdot2 = -10 -8+2\lambda = 2\lambda -18. \] Тогда: \[ \det = (4-\lambda)(\lambda^2+4\lambda-36) +5(5\lambda+36) +2(2\lambda-18). \] Раскроем: \((4-\lambda)(\lambda^2+4\lambda-36) = 4(\lambda^2+4\lambda-36) - \lambda(\lambda^2+4\lambda-36) = 4\lambda^2+16\lambda-144 -\lambda^3-4\lambda^2+36\lambda = -\lambda^3 + (4\lambda^2-4\lambda^2) + (16+36)\lambda -144 = -\lambda^3+52\lambda-144\). Затем добавим \(5(5\lambda+36)=25\lambda+180\) и \(2(2\lambda-18)=4\lambda-36\). Суммируем: \(-\lambda^3+52\lambda-144 +25\lambda+180+4\lambda-36 = -\lambda^3 + (52+25+4)\lambda + (-144+180-36) = -\lambda^3+81\lambda+0 = -\lambda(\lambda^2-81) = -\lambda(\lambda-9)(\lambda+9)\).

Итак, собственные значения: \(\lambda_1=0\), \(\lambda_2=9\), \(\lambda_3=-9\).

Ранг 2, сигнатура (1,1). Найдём собственные векторы.

Для \(\lambda=0\): \[ A v=0:\quad \begin{cases} 4x-5y+2z=0\\ -5x+4y+2z=0\\ 2x+2y-8z=0 \end{cases} \] Третье уравнение: \(2x+2y-8z=0\) → \(x+y-4z=0\) → \(x+y=4z\). Из первого: \(4x-5y=-2z\). Подставим \(z=(x+y)/4\): \(4x-5y = -2\cdot\frac{x+y}{4} = -\frac{x+y}{2}\). Умножим на 2: \(8x-10y = -x-y\) → \(9x=9y\) → \(x=y\). Тогда \(z=(x+x)/4 = x/2\). Итак, \(v_1=(1,1,\frac12)\) или (2,2,1). Нормируем: \(|v_1|=\sqrt{4+4+1}=3\), \(e_1=(\frac23,\frac23,\frac13)\).

Для \(\lambda=9\): \[ (A-9I)v=0:\quad \begin{pmatrix} -5 & -5 & 2 \\ -5 & -5 & 2 \\ 2 & 2 & -17 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0. \] Первые два одинаковы: \(-5x-5y+2z=0\) → \(5x+5y-2z=0\) → \(2z=5(x+y)\). Третье: \(2x+2y-17z=0\) → \(2(x+y)=17z\). Из первого \(2z=5(x+y)\), из второго \(2(x+y)=17z\). Подставим \(x+y = \frac{2z}{5}\) из первого во второе: \(2\cdot\frac{2z}{5}=17z\) → \(\frac{4z}{5}=17z\) → \(z(17-\frac45)=0\) → \(z=0\). Тогда \(x+y=0\). Итак, \(v_2=(1,-1,0)\). Нормируем: \(|v_2|=\sqrt2\), \(e_2=(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2},0)\).

Для \(\lambda=-9\): \[ (A+9I)v=0:\quad \begin{pmatrix} 13 & -5 & 2 \\ -5 & 13 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0. \] Уравнения: \(13x-5y+2z=0\), \(-5x+13y+2z=0\), \(2x+2y+z=0\). Из третьего: \(z=-2x-2y\). Подставим в первое: \(13x-5y+2(-2x-2y)=13x-5y-4x-4y=9x-9y=0\) → \(x=y\). Тогда \(z=-2x-2x=-4x\). Итак, \(v_3=(1,1,-4)\). Нормируем: \(|v_3|=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}=3\sqrt2\), \(e_3=(\frac1{3\sqrt2},\frac1{3\sqrt2},-\frac{4}{3\sqrt2})\).

Теперь переходим к новым координатам \((X,Y,Z)\) с матрицей \(P=(e_1,e_2,e_3)\). Квадратичная часть: \(9Y^2 -9Z^2\). Линейная часть: \(-16x-16y+10z\). Вектор \(L=(-16,-16,10)\). Найдём его координаты: \[ L_1 = L\cdot e_1 = (-16,-16,10)\cdot\left(\frac23,\frac23,\frac13\right) = -\frac{32}{3}-\frac{32}{3}+\frac{10}{3} = -\frac{54}{3} = -18. \] \[ L_2 = L\cdot e_2 = (-16,-16,10)\cdot\left(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2},0\right) = -\frac{16}{\sqrt2}+\frac{16}{\sqrt2}+0 = 0. \] \[ L_3 = L\cdot e_3 = (-16,-16,10)\cdot\left(\frac1{3\sqrt2},\frac1{3\sqrt2},-\frac{4}{3\sqrt2}\right) = \frac{1}{3\sqrt2}(-16-16-40) = \frac{1}{3\sqrt2}(-72) = -\frac{24}{\sqrt2} = -12\sqrt2. \] Таким образом, уравнение в новых координатах: \[ 9Y^2 - 9Z^2 -18X -12\sqrt2\, Z -2 = 0. \] Группируем по \(Z\): \[ 9Y^2 -9Z^2 -12\sqrt2 Z -18X -2 =0. \] Выделим полный квадрат по \(Z\): \[ -9Z^2 -12\sqrt2 Z = -9\left(Z^2 + \frac{4\sqrt2}{3}Z\right) = -9\left[\left(Z+\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2 - \frac{8}{9}\right] = -9\left(Z+\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2 + 8. \] Тогда уравнение: \[ 9Y^2 -9\left(Z+\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2 +8 -18X -2 =0, \] \[ 9Y^2 -9\left(Z+\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2 -18X +6 =0, \] \[ 9Y^2 -9\left(Z+\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2 = 18X -6 = 18\left(X-\frac13\right). \] Сделаем сдвиг: \(X' = X - \frac13\), \(Z' = Z + \frac{2\sqrt2}{3}\). Тогда \[ 9Y^2 - 9Z'^2 = 18X' \quad\Rightarrow\quad Y^2 - Z'^2 = 2X'. \] Это гиперболический параболоид (седловая поверхность). Каноническое уравнение: \(X' = \frac{Y^2}{2} - \frac{Z'^2}{2}\).

Ответ для 4): Гиперболический параболоид; каноническое уравнение \(X = \frac{Y^2}{2} - \frac{Z^2}{2}\).

—

1) Параболический цилиндр (каноническое уравнение \(X^2 = \frac{4}{3}Y\) после приведения).

2) Эллиптический параболоид (каноническое уравнение \(X = aY^2 + bZ^2\) с положительными коэффициентами).

3) Эллиптический параболоид (каноническое уравнение \(X = \frac{Y^2}{2} + \frac{3Z^2}{4}\)).

4) Гиперболический параболоид (каноническое уравнение \(X = \frac{Y^2}{2} - \frac{Z^2}{2}\)).