1009. По какой линии пересекаются гиперболический параболоид \[\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 2z\] и плоскость \[2x + 3y - 6 = 0?\]

Решение. Из уравнения плоскости выразим \(x\): \[2x = 6 - 3y \quad \Rightarrow \quad x = 3 - \frac{3}{2}y.\] Подставим в уравнение параболоида: \[\frac{\left(3 - \frac{3}{2}y\right)^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 2z.\] Вычислим квадрат: \[\left(3 - \frac{3}{2}y\right)^2 = 9 - 9y + \frac{9}{4}y^2.\] Тогда \[\frac{9 - 9y + \frac{9}{4}y^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1 - y + \frac{1}{4}y^2 - \frac{y^2}{4} = 1 - y.\] Получаем \(1 - y = 2z\), или \(z = \frac{1 - y}{2}\). Таким образом, все точки пересечения удовлетворяют системе \[\begin{cases} x = 3 - \frac{3}{2}y, \\ z = \frac{1 - y}{2}, \end{cases}\] где \(y\) — свободная переменная. Это параметрические уравнения прямой в пространстве. Следовательно, плоскость пересекает гиперболический параболоид по прямой линии.

Ответ: прямая.