1002. По какой линии плоскость \(x + y - z + 3 = 0\) пересекает двуполостный гиперболоид \(x^2 + y^2 - z^2 = -4\)?

Решение. Из уравнения плоскости выразим \(z = x + y + 3\) и подставим в уравнение гиперболоида: \[x^2 + y^2 - (x + y + 3)^2 = -4.\] Раскрываем квадрат: \[x^2 + y^2 - (x^2 + y^2 + 9 + 2xy + 6x + 6y) = -4,\] \[-9 - 2xy - 6x - 6y = -4,\] \[-2xy - 6x - 6y = 5.\] Умножим на \(-1\) и преобразуем: \[2xy + 6x + 6y = -5.\] Добавим 18 к обеим частям: \[2xy + 6x + 6y + 18 = 13,\] \[(2x+6)(y+3) = 13,\] \[2(x+3)(y+3) = 13,\] \[(x+3)(y+3) = \frac{13}{2}.\] Полученное уравнение в плоскости \(x+y-z+3=0\) задаёт гиперболу (равностороннюю гиперболу, оси которой параллельны координатным осям после сдвига). Следовательно, линия пересечения — гипербола.

Ответ: гипербола.