math:gruop:lie:t1

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
Следующая версия		 Предыдущая версия
math:gruop:lie:t1 [2020/09/29 09:19] – [Действие группы на функции. Инварианты.] rootmath:gruop:lie:t1 [2020/10/01 14:13] (текущий) – [Действие группы на функции. Инварианты.] root
Строка 1: Строка 1:
 ===== ОДНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ===== ===== ОДНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ =====
  
-Преобразование $T$: $z'= f(z)$ переводит точку $z\in {\mathbb R}^n$ в $z'\in {\mathbb R}^n$. Пока рассмотрим однопараметрические преобразования $T_a$:+==== Локальная группа Ли ==== 
 + 
 +Рассмотрим преобразование $T:{\mathbb R}^n \to {\mathbb R}^n$, задаваемое функцией $\bar x= f(x)$, которая переводит точку $x\in {\mathbb R}^n$ в $\bar x\in {\mathbb R}^n$. Рассмотрим однопараметрическое преобразование $T_a$ зависящее от параметра $a\in {\mathbb R}$:
 $$ $$
-z'^i=f^i (z,a),+\bar x^i=f^i (x,a),
 $$ $$
-с вещественным параметром $a$, где $i$ пробегает значения от $1$ до $n$. Данные преобразования образуют однопараметрическую группу, если+где $i$ пробегает значения от $1$ до $n$. Данные преобразования образуют однопараметрическую группу, если
 $$ $$
 T_bT_a=T_{\varphi (a,b)}, T_bT_a=T_{\varphi (a,b)},
Строка 16: Строка 18:
   - $T_c(T_bT_a) = (T_cT_b)T_a$ --- ассоциатив­ность умножения в группе.   - $T_c(T_bT_a) = (T_cT_b)T_a$ --- ассоциатив­ность умножения в группе.
  
-==== Уравнение Ли ==== +==== Векторное поле и канонический параметр ==== 
-Рассмотрим простейший вариант с **каноническим параметром**, когда $\varphi (a,b) =a + b$:+Параметр $a$ называется **каноническим параметром**, когда $\varphi (a,b) =a + b$:
 $$ $$
 \vec f(\vec f(\vec z,a)b)=\vec f(\vec z, \varphi (a,b))=\vec f(\vec z, a+b); \vec f(\vec f(\vec z,a)b)=\vec f(\vec z, \varphi (a,b))=\vec f(\vec z, a+b);
 $$ $$
 при этом $a^{-1}=-a$. при этом $a^{-1}=-a$.
 +
 +В общем случае, когда $\varphi (a,b) \ne a + b$, переход в уравнении Ли к **каноническому параметру** $a\to \bar{a}$ осуществляется при помощи
 +$$
 +\bar{a}=\intop _{e}^a \frac{1}{A(a)}\ da,
 +$$
 +где
 +$$
 +A(a)=\left. \frac{\partial \varphi (a,b)}{\partial b} \right|_{b=e},
 +$$
 +где $e$ --- нейтральный элемент, такой что $\varphi (a,e)=a.$
  
 Разложим функцию $\vec f(\vec z,a)$ в ряд Тей­лора по параметру $a$ в окрестности $a = 0.$ По условию $T_0 = I$, тогда $\vec f(\vec z ,0 )= \vec z$  и обозначив Разложим функцию $\vec f(\vec z,a)$ в ряд Тей­лора по параметру $a$ в окрестности $a = 0.$ По условию $T_0 = I$, тогда $\vec f(\vec z ,0 )= \vec z$  и обозначив
Строка 35: Строка 47:
 $$ $$
  
-Функция $f$ удовлетворяет **уравнению Ли**: 
-<WRAP center round box 60%> 
-$$ 
-\frac{df^i}{da}=\xi^i(\vec f) \text{ с гран. условием } \left. \vec f\right|_{a=0}=\vec z. 
-$$ 
-</WRAP> 
  
-В общем случае, когда $\varphi (a,b) \ne a + b$, переход в уравнении Ли к **каноническому параметру** $a\to \bar{a}$ осуществляется при помощи +Рассмотрим [[primer1|примеры]] к теме раздела.
-$$ +
-\bar{a}=\intop _{e}^a \frac{1}{A(a)}\ da, +
-$$ +
-где +
-$$ +
-A(a)=\left. \frac{\partial \varphi (a,b)}{\partial b} \right|_{b=e}, +
-$$ +
-где $e$ --- нейтральный элемент, такой что $\varphi (a,e)=a.$+
  
-Рассмотрим [[primer1|примеры]] по теме. 
  
 ==== Инфинитезималь­ный оператор группы. ==== ==== Инфинитезималь­ный оператор группы. ====
Строка 85: Строка 82:
 После дифференцирования по параметру $a$ и беря значение в точке $a=0$ получим После дифференцирования по параметру $a$ и беря значение в точке $a=0$ получим
 $$ $$
-\xi^j\frac{\partial y^i}{x^j}=\frac{\partial y^i}{x'^j}\frac{x'^j}{da}|_{a=0}=\frac{dg_i}{da}|_{a=0}=\eta^i(y),+\xi^j\frac{\partial y^i}{x^j}=\left . \frac{\partial y^i}{x'^j}\frac{x'^j}{da}\right|_{a=0}= 
 +\left . \frac{dg_i}{da}\right|_{a=0}=\eta^i(y),
 $$ $$
 иными словами, пришли к равенству иными словами, пришли к равенству
Строка 91: Строка 89:
 \eta^i(y)=X(y^i). \eta^i(y)=X(y^i).
 $$ $$
 +
 +Рассмотрим [[primer2|примеры]] к теме раздела.
 +==== Уравнение Ли ====
 +
 +Функция $f$ удовлетворяет **уравнению Ли**:
 +<WRAP center round box 60%>
 +$$
 +\frac{df^i}{da}=\xi^i(\vec f) \text{ с гран. условием } \left. \vec f\right|_{a=0}=\vec z.
 +$$
 +</WRAP>
 +
 +Рассмотрим [[primer-li|примеры]] к теме раздела.
 +
 ==== Действие группы на функции. Инварианты. ==== ==== Действие группы на функции. Инварианты. ====
  
Строка 117: Строка 128:
 \xi ^i(z)\frac{\partial F(z)}{\partial z^i} =0, \xi ^i(z)\frac{\partial F(z)}{\partial z^i} =0,
 $$ $$
-с учётом инфинитизимального оператора критерий инвариантности запишется в виде:+с учётом инфинитезимального оператора критерий инвариантности запишется в виде:
 $$ $$
 XF=0. XF=0.
Строка 149: Строка 160:
 $$ $$
  
 +Рассмотрим [[primer3|примеры]] к теме раздела.
 ==== Инвариантные уравнения. ==== ==== Инвариантные уравнения. ====