math:39.20

Различия

Показаны различия между двумя версиями страницы.

Ссылка на это сравнение

math:39.20 [2026/04/09 03:42] – создано rootmath:39.20 [2026/04/09 03:44] (текущий) – root
Строка 1: Строка 1:
-**Задача 39.20.**   +===== Задача 39.20 ===== 
-Линейный оператор в пространстве $\mathbb{R}[x]_2$ имеет в базисе $(1, x, x^2)$ матрицу   + 
-\[+Линейный оператор в пространстве $\mathbb{R}[x]_2$ имеет в базисе $(1, x, x^2)$ матрицу 
 +$$
 A = \begin{pmatrix} A = \begin{pmatrix}
 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\
Строка 7: Строка 8:
 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0
 \end{pmatrix}. \end{pmatrix}.
-\]   +$$ 
-Найти его матрицу в базисе   +Найти его матрицу в базисе 
-\[+$$
 (3x^2 + 2x + 1,\; x^2 + 3x + 2,\; 2x^2 + x + 3). (3x^2 + 2x + 1,\; x^2 + 3x + 2,\; 2x^2 + x + 3).
-\]+$$
  
----+===== Решение =====
  
-**Решение.**+**1. Координаты новых базисных векторов в старом базисе.**   
 +Старый базис: $e_1 = 1$, $e_2 = x$, $e_3 = x^2$.   
 +$$ 
 +\begin{aligned} 
 +b_1 &= 3x^2+2x+1 = 1\cdot e_1 + 2\cdot e_2 + 3\cdot e_3 \;\Rightarrow\; (1,2,3)^T,\\ 
 +b_2 &= x^2+3x+2 = 2\cdot e_1 + 3\cdot e_2 + 1\cdot e_3 \;\Rightarrow\; (2,3,1)^T,\\ 
 +b_3 &= 2x^2+x+3 = 3\cdot e_1 + 1\cdot e_2 + 2\cdot e_3 \;\Rightarrow\; (3,1,2)^T. 
 +\end{aligned} 
 +$$ 
 +Матрица перехода от нового базиса к старому (столбцы – координаты новых векторов): 
 +$$ 
 +P = \begin{pmatrix} 
 +1 & 2 & 3 \\ 
 +2 & 3 & 1 \\ 
 +3 & 1 & 2 
 +\end{pmatrix}. 
 +$$
  
-1. **Координаты новых базисных векторов в старом базисе**   +**2. Обратная матрица.**   
-   Старый базис: $e_1 = 1$, $e_2 = x$, $e_3 = x^2$.   +$\det P = -18$.   
-   \[ +$$ 
-   \begin{aligned} +P^{-1} = \frac{1}{-18} \begin{pmatrix} 
-   b_1 &= 3x^2+2x+1 = 1\cdot e_1 + 2\cdot e_2 + 3\cdot e_3 \quad\Rightarrow\quad (1,2,3)^T,\\ +5 & -1 & -7 \\ 
-   b_2 &= x^2+3x+2 = 2\cdot e_1 + 3\cdot e_2 + 1\cdot e_3 \quad\Rightarrow\quad (2,3,1)^T,\\ +-1 & -7 & 5 \\ 
-   b_3 &= 2x^2+x+3 = 3\cdot e_1 + 1\cdot e_2 + 2\cdot e_3 \quad\Rightarrow\quad (3,1,2)^T. +-7 & 5 & -1 
-   \end{aligned} +\end{pmatrix}^T = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 
-   \]   +-5 & 1 & 7 \\ 
-   Матрица перехода от нового базиса к старому (столбцы – координаты новых векторов):   +1 & 7 & -5 \\ 
-   \[ +7 & -5 & 1 
-   P = \begin{pmatrix} +\end{pmatrix}. 
-   1 & 2 & 3 \\ +$$
-   2 & 3 & 1 \\ +
-   3 & 1 & 2 +
-   \end{pmatrix}. +
-   \]+
  
-2. **Обратная матрица**   +**3. Вычисление $A P$.**   
-   $\det P = -18$.   +$$ 
-   \[ +A P = \begin{pmatrix} 
-   P^{-1} = \frac{1}{-18} \begin{pmatrix} +0 & 0 & 1 \\ 
-   5 & -1 & -7 \\ +0 & 1 & 0 \\ 
-   -1 & -7 & 5 \\ +1 & 0 & 0 
-   -7 & 5 & -1 +\end{pmatrix} 
-   \end{pmatrix}^T = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} +\begin{pmatrix} 
-   -5 & 1 & 7 \\ +1 & 2 & 3 \\ 
-   1 & 7 & -5 \\ +2 & 3 & 1 \\ 
-   7 & -5 & 1 +3 & 1 & 2 
-   \end{pmatrix}. +\end{pmatrix} 
-   \]+= \begin{pmatrix} 
 +3 & 1 & 2 \\ 
 +2 & 3 & 1 \\ 
 +1 & 2 & 3 
 +\end{pmatrix}. 
 +$$
  
-3. **Вычисление $A P$**   +**4. Новая матрица $B = P^{-1} (A P)$.**   
-   \[ +$$ 
-   A P = \begin{pmatrix} +B = \frac{1}{18} 
-   0 & 0 & 1 \\ +\begin{pmatrix} 
-   0 & 1 & 0 \\ +-5 & 1 & 7 \\ 
-   1 & 0 & 0 +1 & 7 & -5 \\ 
-   \end{pmatrix} +7 & -5 & 1 
-   \begin{pmatrix} +\end{pmatrix} 
-   1 & 2 & 3 \\ +\begin{pmatrix} 
-   2 & 3 & 1 \\ +3 & 1 & 2 \\ 
-   3 & 1 & 2 +2 & 3 & 1 \\ 
-   \end{pmatrix} +1 & 2 & 3 
-   = \begin{pmatrix} +\end{pmatrix} 
-   3 & 1 & 2 \\ += \frac{1}{18} 
-   2 & 3 & 1 \\ +\begin{pmatrix} 
-   1 & 2 & 3 +-6 & 12 & 12 \\ 
-   \end{pmatrix}. +12 & 12 & -6 \\ 
-   \] +12 & -6 & 12 
- +\end{pmatrix} 
-4. **Новая матрица $B = P^{-1} (A P)$**   += \frac{1}{3} 
-   \[ +\begin{pmatrix} 
-   B = \frac{1}{18} +-1 & 2 & 2 \\ 
-   \begin{pmatrix} +2 & 2 & -1 \\ 
-   -5 & 1 & 7 \\ +2 & -1 & 2 
-   1 & 7 & -5 \\ +\end{pmatrix}. 
-   7 & -5 & 1 +$$
-   \end{pmatrix} +
-   \begin{pmatrix} +
-   3 & 1 & 2 \\ +
-   2 & 3 & 1 \\ +
-   1 & 2 & 3 +
-   \end{pmatrix} +
-   = \frac{1}{18} +
-   \begin{pmatrix} +
-   -6 & 12 & 12 \\ +
-   12 & 12 & -6 \\ +
-   12 & -6 & 12 +
-   \end{pmatrix} +
-   = \frac{1}{3} +
-   \begin{pmatrix} +
-   -1 & 2 & 2 \\ +
-   2 & 2 & -1 \\ +
-   2 & -1 & 2 +
-   \end{pmatrix}. +
-   \]+
  
-**Ответ:**   +**Ответ.**   
-\[+$$
 \boxed{\frac13 \begin{pmatrix} \boxed{\frac13 \begin{pmatrix}
 -1 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\
Строка 102: Строка 101:
 2 & -1 & 2 2 & -1 & 2
 \end{pmatrix}} \end{pmatrix}}
-\]+$$