Выпрямим оператор $$X=x^{2}\partial_{x}+xy\partial_{y}.$$ Для нахождения первого инварианта решим уравнение $$\frac{dx}{x^{2}}=\frac{dy}{xy}.$$ Проинтегрируем $$\ln x=\int\frac{dx}{x}=\ln y+C=\int\frac{dy}{y},$$ тогда $$I=\ln C=\frac{x}{y}$$ является инвариантом и выберем его в качестве новой переменной. Вторая переменная найдётся из уравнения $$-\frac{1}{x}=\int\frac{dx}{x^{2}}=\int\frac{dz}{1}=z$$ $$-\frac{1}{\bar{z}}=\bar{x}=\frac{x}{1-ax}=\frac{-\frac{1}{z}}{1-a(-\frac{1}{z})}=-\frac{1}{z+a}$$ тогда, действительно, $\bar{z}=z+a$ — паралельный перенос по $z.$

Из примера 1 для группы Галилея

$$\bar{x}=x+ay, \ \ \bar{y}=y.$$

касательный вектор $\vec{\xi}$ с компонентами $\xi^{1}=y,$ $\xi^{2}=0.$ Тогда $$ X=y\partial_{x}. $$ Раз в операторе нет производной по $y$, то эта переменная является как раз одним инвариантом $y=I$, тогда $$ \frac{dx}{y}=\frac{dz}{1}. $$ Но так как переменная y инвариант и не зависит от $a$, то легко проинтегрируем: $$ \frac xy=z. $$ Тогда, действительно в новых переменных $(z,I)=(z,y)$ $$\bar z=z+a, \ \ \bar y=y.$$