Найти обратную матрицу, если возможно: $$\text{а) }\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix},\qquad \text{б) }\begin{pmatrix}2&1&2\\0&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix},\qquad \text{в) }\begin{pmatrix}3&-4&2\\0&-1&1\\-6&9&-5\end{pmatrix}.$$

Обратная существует тогда и только тогда, когда $\det A\ne0$; тогда $A^{-1}=\dfrac1{\det A}\,\tilde A^{T}$, где $\tilde A$ — матрица алгебраических дополнений. (Можно также методом элементарных преобразований, см. Фаддеев 410.)

а) $\det A$ (разложение по третьей строке): $-1\cdot\begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=-1$. Алгебраические дополнения: $$A_{11}=-1,\ A_{12}=0,\ A_{13}=1;\quad A_{21}=0,\ A_{22}=0,\ A_{23}=-1;\quad A_{31}=1,\ A_{32}=-1,\ A_{33}=-1.$$ $$A^{-1}=\frac1{-1}\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&0&-1\\1&-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&1\\-1&1&1\end{pmatrix}.$$ Проверка: $\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&1\\-1&1&1\end{pmatrix}=E$.

б) Матрица почти треугольная; разложение по первому столбцу: $\det=2\begin{vmatrix}1&0\\-1&1\end{vmatrix}=2$. $$A_{11}=1,\ A_{12}=0,\ A_{13}=0;\quad A_{21}=-3,\ A_{22}=2,\ A_{23}=2;\quad A_{31}=-2,\ A_{32}=0,\ A_{33}=2.$$ $$A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&-3&-2\\0&2&0\\0&2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac32&-1\\0&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}.$$

в) Прибавим к третьей строке удвоенную первую: $(0,1,-1)$ — это вторая строка с обратным знаком. Строки линейно зависимы, $\det=0$, обратной матрицы нет.

а) $\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&0&1\\-1&1&1\end{pmatrix}$; б) $\begin{pmatrix}\frac12&-\frac32&-1\\0&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$; в) не существует ($\det=0$).