Найти все $\lambda$, при которых вектор $\mathbf b$ линейно выражается через векторы $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$: $$\mathbf a_1=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix},\quad \mathbf a_2=\begin{pmatrix}3\\7\\8\end{pmatrix},\quad \mathbf a_3=\begin{pmatrix}1\\-6\\1\end{pmatrix},\quad \mathbf b=\begin{pmatrix}7\\-2\\\lambda\end{pmatrix}.$$

Это задача 665 из задачника Проскурякова — подробное решение: Проскуряков 665.

Кратко: определитель из $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$ равен нулю, $\mathbf a_3=5\mathbf a_1-3\mathbf a_2$, а $\mathbf a_1,\mathbf a_2$ не коллинеарны. Из первых двух координат $\mathbf b=11\mathbf a_1-5\mathbf a_2$; третья координата даёт $\lambda=5\cdot11+8\cdot(-5)=15$.

Так как $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\mathbf a_3$ линейно зависимы, при $\lambda=15$ коэффициенты определены неоднозначно: $$\mathbf b=(11-5t)\mathbf a_1+(3t-5)\mathbf a_2+t\,\mathbf a_3,\quad t\in\mathbb R$$ (прибавили $t\cdot(\mathbf a_3-5\mathbf a_1+3\mathbf a_2)=\mathbf 0$).

$\lambda=15$; $\mathbf b=(11-5t)\mathbf a_1+(3t-5)\mathbf a_2+t\mathbf a_3$.