Найти какой-нибудь базис системы векторов $\{\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c,\mathbf d\}$ и выразить через него все остальные векторы: $$\mathbf a=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix},\quad \mathbf b=\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix},\quad \mathbf c=\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix},\quad \mathbf d=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.$$

Записываем векторы столбцами и приводим матрицу к ступенчатому виду преобразованиями строк — линейные зависимости между столбцами при этом сохраняются: $$\begin{pmatrix}2&2&0&1\\0&3&3&2\\1&3&2&2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&3&2&2\\0&3&3&2\\2&2&0&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&3&2&2\\0&3&3&2\\0&-4&-4&-3\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&3&2&2\\0&3&3&2\\0&0&0&-\frac13\end{pmatrix}$$ (в последнем шаге к третьей строке прибавлена $\frac43\cdot$(2-я)). Ведущие элементы в столбцах $1,2,4$: ранг $3$, базис $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf d$ (это базис всего пространства $\mathbb R^3$).

Третий столбец: из ступенчатого вида $\mathbf c=\alpha\mathbf a+\beta\mathbf b+\delta\mathbf d$ с $\delta=0$, $3\beta=3$, $\alpha+3\beta=2$: $\beta=1$, $\alpha=-1$. $$\mathbf c=-\mathbf a+\mathbf b.$$ Проверка: $(2,3,3)-(2,0,1)=(0,3,2)$.

Базис $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf d$; $\mathbf c=\mathbf b-\mathbf a$.