Дан прямоугольный треугольник $ABC$ в декартовом прямоугольном базисе, где $A(1,2)$, $B(3,4)$, $C(0,3)$. Пусть точка $D$ делит сторону $CB$ в отношении $1:2$. Найти координаты вершин треугольника в новой системе $(A,\mathbf e_1',\mathbf e_2')$, где $\mathbf e_1'$ — единичный вектор, сонаправленный с $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf e_2'$ — единичный вектор, сонаправленный с $\overrightarrow{AC}$. Найти координаты точки $D$ в новой системе.

$\overrightarrow{AB}=(2,2)$, $\overrightarrow{AC}=(-1,1)$, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$ — прямой угол при $A$, поэтому новый базис ортонормированный: $$\mathbf e_1'=\frac1{\sqrt2}(1,1),\qquad \mathbf e_2'=\frac1{\sqrt2}(-1,1).$$ В ортонормированном базисе координаты — скалярные произведения: точка $P$ имеет новые координаты $x'=(\overrightarrow{AP},\mathbf e_1')$, $y'=(\overrightarrow{AP},\mathbf e_2')$.

• $A'(0,0)$.
• $B$: $\overrightarrow{AB}=(2,2)$, $x'=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2$, $y'=0$.
• $C$: $\overrightarrow{AC}=(-1,1)$, $x'=0$, $y'=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2$.

$CD:DB=1:2$, $D=C+\frac13(B-C)=\bigl(1,\frac{10}3\bigr)$, $\overrightarrow{AD}=\bigl(0,\frac43\bigr)$: $$x'=\frac{4/3}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}3,\qquad y'=\frac{4/3}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}3.$$ Проверка: $D'=C'+\frac13(B'-C')=\bigl(\frac{2\sqrt2}3,\ \sqrt2-\frac{\sqrt2}3\bigr)$ — совпадает.

$A(0,0)$, $B(2\sqrt2,0)$, $C(0,\sqrt2)$, $D\bigl(\frac{2\sqrt2}3,\frac{2\sqrt2}3\bigr)$.