Пусть новая система координат $X'O'Y'$ получена из старой сдвигом начала координат в точку $(2,0)$ и поворотом осей координат против часовой стрелки так, чтобы ось $O'X'$ была параллельна прямой $y=\sqrt3x+1$. Найти связь координат и координаты точки $M$ в старой системе координат, если известно, что в новой системе координат у этой точки координаты $M'(1,1)$.

Угловой коэффициент прямой $\sqrt3=\operatorname{tg}\varphi$, $\varphi=\frac\pi3$. Общие формулы (перенос в $(x_0,y_0)$ и поворот на $\varphi$): $$x=x_0+x'\cos\varphi-y'\sin\varphi,\qquad y=y_0+x'\sin\varphi+y'\cos\varphi.$$ $$x=2+\frac12x'-\frac{\sqrt3}2y',\qquad y=\frac{\sqrt3}2x'+\frac12y'.$$ Для $x'=y'=1$: $$x=2+\frac12-\frac{\sqrt3}2=\frac{5-\sqrt3}2,\qquad y=\frac{\sqrt3+1}2.$$

$x=2+\frac{x'-\sqrt3y'}2$, $y=\frac{\sqrt3x'+y'}2$; $M\bigl(\frac{5-\sqrt3}2,\frac{1+\sqrt3}2\bigr)$.