Векторы $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ некомпланарны. При каких значениях вещественного $\lambda$ компланарны векторы $$\mathbf a+2\mathbf b+\lambda\mathbf c,\qquad 4\mathbf a+5\mathbf b+6\mathbf c,\qquad 7\mathbf a+8\mathbf b+\lambda^2\mathbf c?$$

$\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ — базис, и три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель из их координат в этом базисе равен нулю (смешанное произведение умножается на $(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)\ne0$): $$\begin{vmatrix}1&2&\lambda\\4&5&6\\7&8&\lambda^2\end{vmatrix}=(5\lambda^2-48)-2(4\lambda^2-42)+\lambda(32-35)=-3\lambda^2-3\lambda+36.$$ $$-3(\lambda^2+\lambda-12)=-3(\lambda+4)(\lambda-3)=0.$$

$\lambda=3$ или $\lambda=-4$.