В ортонормированном базисе заданы векторы $\mathbf a=(1,1,1)^T$, $\mathbf b=(1,0,0)^T$. Найти вектор $\mathbf c$ длины $1$, перпендикулярный вектору $\mathbf a$, образующий с вектором $\mathbf b$ угол $\frac\pi3$ и направленный так, чтобы упорядоченная тройка $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ имела положительную ориентацию.

Пусть $\mathbf c=(x,y,z)$. Условия: $$x+y+z=0,\qquad x=|\mathbf c||\mathbf b|\cos\frac\pi3=\frac12,\qquad x^2+y^2+z^2=1.$$ Значит $y+z=-\frac12$, $y^2+z^2=\frac34$, откуда $2yz=(y+z)^2-(y^2+z^2)=-\frac12$, $yz=-\frac14$. $y$ и $z$ — корни уравнения $t^2+\frac12t-\frac14=0$: $$t=\frac{-1\pm\sqrt5}4.$$ Ориентация: $$(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&0\\x&y&z\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&1\\y&z\end{vmatrix}=y-z$$ (разложение по второй строке). Положительная ориентация означает $y-z>0$, то есть $y=\frac{\sqrt5-1}4$, $z=-\frac{\sqrt5+1}4$.

$\mathbf c=\Bigl(\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt5-1}4,\ -\dfrac{\sqrt5+1}4\Bigr)$.