Найти вектор единичной длины, ортогональный векторам $\mathbf a=(1,1,-1)^T$, $\mathbf b=(0,-1,2)^T$ и образующий с ними левую тройку.

Вектор $\mathbf a\times\mathbf b$ ортогонален $\mathbf a$ и $\mathbf b$, и тройка $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a\times\mathbf b$ правая. $$\mathbf a\times\mathbf b=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\1&1&-1\\0&-1&2\end{vmatrix}=\mathbf i(2-1)-\mathbf j(2-0)+\mathbf k(-1-0)=(1,-2,-1).$$ Для левой тройки берём противоположный вектор и нормируем: $|\mathbf a\times\mathbf b|=\sqrt6$, $$\mathbf c=-\frac{(1,-2,-1)}{\sqrt6}=\frac1{\sqrt6}(-1,2,1).$$ Проверка: $(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)=(\mathbf a\times\mathbf b,\mathbf c)=\frac{-1-4-1}{\sqrt6}=-\sqrt6<0$ — тройка левая.

$\mathbf c=\frac1{\sqrt6}(-1,2,1)$.