Найти вектор $\mathbf a'$, симметричный $\mathbf a=(1,0,-1)^T$ относительно $\mathbf b=(0,2,3)^T$.

Симметрия относительно прямой, задаваемой $\mathbf b$: проекция на $\mathbf b$ сохраняется, ортогональная составляющая меняет знак: $$\mathbf a'=2\operatorname{pr}_{\mathbf b}\mathbf a-\mathbf a.$$ $(\mathbf a,\mathbf b)=0+0-3=-3$, $(\mathbf b,\mathbf b)=13$: $$\operatorname{pr}_{\mathbf b}\mathbf a=-\frac3{13}(0,2,3)=\Bigl(0,-\frac6{13},-\frac9{13}\Bigr),$$ $$\mathbf a'=\Bigl(0,-\frac{12}{13},-\frac{18}{13}\Bigr)-(1,0,-1)=\Bigl(-1,-\frac{12}{13},-\frac5{13}\Bigr).$$ Проверка: $|\mathbf a'|^2=1+\frac{144+25}{169}=2=|\mathbf a|^2$.

$\mathbf a'=\bigl(-1,-\frac{12}{13},-\frac5{13}\bigr)$.