На плоскости даны векторы $\mathbf a$ и $\mathbf l$, причём $(\mathbf a,\mathbf l)\ne0$. Найти вектор $\mathbf a'$, равный по длине $|2\mathbf a|$ и являющийся зеркальным отражением вектора $\mathbf a$ относительно вектора, ортогонального $\mathbf l$.

(В листке семинара у задачи тот же номер 3, что и у предыдущей.)

Отражение относительно прямой, перпендикулярной $\mathbf l$, — это то же самое, что в 3.1.2 с нормалью $\mathbf n=\mathbf l$: составляющая вдоль $\mathbf l$ меняет знак, перпендикулярная сохраняется: $$\mathbf a_{\text{отр}}=\mathbf a-2\frac{(\mathbf a,\mathbf l)}{(\mathbf l,\mathbf l)}\,\mathbf l.$$ Отражение сохраняет длину, а нужна длина $2|\mathbf a|$ — умножаем на $2$: $$\mathbf a'=2\mathbf a-4\frac{(\mathbf a,\mathbf l)}{(\mathbf l,\mathbf l)}\,\mathbf l.$$ Условие $(\mathbf a,\mathbf l)\ne0$ означает, что $\mathbf a$ не лежит на оси симметрии (иначе отражение не меняет направление).

$\mathbf a'=2\mathbf a-\dfrac{4(\mathbf a,\mathbf l)}{|\mathbf l|^2}\,\mathbf l$.