Найти проекцию суммы векторов $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c,\mathbf d$ на ось $l$, если $|\mathbf a|=5$, $|\mathbf b|=6$, $|\mathbf c|=8$, $|\mathbf d|=12$, а углы, составленные этими векторами с осью $l$, соответственно равны $0$, $\frac{2\pi}3$, $\pi$, $\frac\pi3$.

(В листке семинара второй угол напечатан как $\frac{2\pi}{2}$ — по-видимому, опечатка; ниже разобран вариант $\frac{2\pi}3$, а в конце — $\pi$.)

Проекция суммы равна сумме проекций, а проекция вектора на ось равна $|\mathbf x|\cos\varphi$: $$\operatorname{pr}_l(\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c+\mathbf d)=5\cos0+6\cos\frac{2\pi}3+8\cos\pi+12\cos\frac\pi3=5-3-8+6=0.$$ Если второй угол равен $\pi$: $5-6-8+6=-3$.

$0$ (при угле $\frac{2\pi}3$); $-3$ (если угол равен $\pi$).