В прямоугольной декартовой системе координат даны точки $M_1(-1,0)$, $M_2(0,2)$, $M_3(-\sqrt3,1)$, $M_4(-1,-1)$, $M_5\bigl(-\frac{\sqrt2}2,-\frac{\sqrt2}2\bigr)$, $M_6\bigl(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\bigr)$. Найти их координаты в полярной системе координат.

$r=\sqrt{x^2+y^2}$, угол $\varphi$ определяется из $\cos\varphi=\frac xr$, $\sin\varphi=\frac yr$. Формулой $\operatorname{tg}\varphi=\frac yx$ нужно пользоваться осторожно: она не различает противоположные четверти, поэтому сначала смотрим, в какой четверти лежит точка.

• $M_1(-1,0)$: $r=1$, точка на отрицательной полуоси: $\varphi=\pi$.
• $M_2(0,2)$: $r=2$, $\varphi=\frac\pi2$.
• $M_3(-\sqrt3,1)$: $r=2$, вторая четверть, $\cos\varphi=-\frac{\sqrt3}2$, $\sin\varphi=\frac12$: $\varphi=\frac{5\pi}6$.
• $M_4(-1,-1)$: $r=\sqrt2$, третья четверть: $\varphi=\frac{5\pi}4$ (или $-\frac{3\pi}4$). Здесь $\operatorname{tg}\varphi=1$, но $\varphi=\frac\pi4$ — неверно.
• $M_5$: $r=1$, третья четверть: $\varphi=\frac{5\pi}4$.
• $M_6$: $r=1$, $\varphi=\frac\pi4$.

(Угол определён с точностью до $2\pi k$; выше взяты значения из $[0,2\pi)$.)

$M_1(1,\pi)$, $M_2(2,\frac\pi2)$, $M_3(2,\frac{5\pi}6)$, $M_4(\sqrt2,\frac{5\pi}4)$, $M_5(1,\frac{5\pi}4)$, $M_6(1,\frac\pi4)$.