ЛАиГ 2.1.8*. Трапеция: точка пересечения диагоналей
Задача повышенной сложности.
Условие задачи
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$, $BC$, $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac37$, диагонали пересекаются в точке $E$. Выразить вектор $\overrightarrow{AE}$ через $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$.
Решение
Треугольники $AED$ и $CEB$ подобны (основания параллельны) с коэффициентом $\frac{AD}{BC}=\frac73$, поэтому $AE:EC=7:3$ и $$\overrightarrow{AE}=\frac7{10}\overrightarrow{AC}.$$ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac37\overrightarrow{AD}$. Значит $$\overrightarrow{AE}=\frac7{10}\overrightarrow{AB}+\frac3{10}\overrightarrow{AD}.$$ Проверка через вторую диагональ. $E$ лежит на $BD$: $\overrightarrow{AE}=(1-s)\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AD}$ — сумма коэффициентов равна $1$: $\frac7{10}+\frac3{10}=1$.
Ответ
$\overrightarrow{AE}=\frac7{10}\overrightarrow{AB}+\frac3{10}\overrightarrow{AD}$.