В треугольнике $ABC$ точка $D$ делит сторону $BC$ в отношении $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac32$. Выразить вектор $\overrightarrow{AD}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

$BD:DC=3:2$, значит $BD=\frac35BC$: $$\overrightarrow{BD}=\frac35\overrightarrow{BC}=\frac35\bigl(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\bigr).$$ $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{AC}-\frac35\overrightarrow{AB}=\frac25\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{AC}.$$

Общее правило. Если $D$ делит $BC$ в отношении $BD:DC=m:n$, то $\overrightarrow{AD}=\dfrac{n\,\overrightarrow{AB}+m\,\overrightarrow{AC}}{m+n}$ — коэффициенты «перекрёстные»: ближе к $C$ — больше вес $\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AD}=\frac25\overrightarrow{AB}+\frac35\overrightarrow{AC}$.