Вычислить определитель $$\Delta=\begin{vmatrix}2&-1&3\\1&4&-2\\3&1&5\end{vmatrix}$$ двумя способами: разложением по строке и предварительным занулением элементов. (В плане семинара пример не задан — это пример для разбора.)

Способ 1. Разложение по первой строке. $\Delta=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$, где $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$: $$\Delta=2\begin{vmatrix}4&-2\\1&5\end{vmatrix}-(-1)\begin{vmatrix}1&-2\\3&5\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}1&4\\3&1\end{vmatrix}=2\cdot22+1\cdot11+3\cdot(-11)=44+11-33=22.$$

Способ 2. Зануление. Определитель не меняется, если к строке прибавить другую строку, умноженную на число. Сделаем нули в первом столбце с помощью второй строки (у неё там единица): из первой строки вычтем $2\cdot$(2-ю), из третьей — $3\cdot$(2-ю): $$\Delta=\begin{vmatrix}0&-9&7\\1&4&-2\\0&-11&11\end{vmatrix}.$$ Разложим по первому столбцу (единственный ненулевой элемент стоит на месте $(2,1)$, знак $(-1)^{2+1}=-1$): $$\Delta=-\begin{vmatrix}-9&7\\-11&11\end{vmatrix}=-(-99+77)=22.$$

$22$.