Длины соседних сторон параллелограмма относятся как $m:n$, а угол между этими сторонами равен $\alpha$. Найти угол между диагоналями параллелограмма.

Пусть $|\mathbf a|=mk$, $|\mathbf b|=nk$, угол между $\mathbf a$ и $\mathbf b$ равен $\alpha$. Диагонали — $\mathbf a+\mathbf b$ и $\mathbf a-\mathbf b$. $$(\mathbf a+\mathbf b,\mathbf a-\mathbf b)=|\mathbf a|^2-|\mathbf b|^2=k^2(m^2-n^2),$$ $$|\mathbf a\pm\mathbf b|^2=k^2(m^2+n^2\pm2mn\cos\alpha),$$ $$|\mathbf a+\mathbf b|^2|\mathbf a-\mathbf b|^2=k^4\bigl((m^2+n^2)^2-4m^2n^2\cos^2\alpha\bigr).$$ $$\cos\varphi=\frac{m^2-n^2}{\sqrt{(m^2+n^2)^2-4m^2n^2\cos^2\alpha}}.$$ Угол между прямыми берут острым, то есть в числителе модуль. При $m=n$ (ромб) $\varphi=\frac\pi2$.

$\varphi=\arccos\dfrac{|m^2-n^2|}{\sqrt{(m^2+n^2)^2-4m^2n^2\cos^2\alpha}}$.