В трапеции $ABCD$ отношение длин оснований $|AD|:|BC|$ равно $3$. Выразить через $\mathbf b=\overrightarrow{AB}$ и $\mathbf c=\overrightarrow{AC}$: 1) длины сторон и углы трапеции; 2) длину отрезка $SM$, где $S$ — точка пересечения боковых сторон трапеции, $M$ — точка пересечения диагоналей.

Сначала выразим все стороны через $\mathbf b,\mathbf c$: $$\overrightarrow{BC}=\mathbf c-\mathbf b,\qquad \overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{BC}=3(\mathbf c-\mathbf b),\qquad \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=2\mathbf c-3\mathbf b.$$

1) Длины: $$|AB|=\sqrt{\mathbf b^2},\quad |BC|=\sqrt{(\mathbf c-\mathbf b)^2},\quad |AD|=3\sqrt{(\mathbf c-\mathbf b)^2},\quad |CD|=\sqrt{(2\mathbf c-3\mathbf b)^2}.$$ Углы. Угол $A$ — между $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$: $$\cos A=\frac{(\mathbf b,\ \mathbf c-\mathbf b)}{|\mathbf b|\,|\mathbf c-\mathbf b|}.$$ Угол $D$ — между $\overrightarrow{DA}=3(\mathbf b-\mathbf c)$ и $\overrightarrow{DC}=3\mathbf b-2\mathbf c$: $$\cos D=\frac{(\mathbf b-\mathbf c,\ 3\mathbf b-2\mathbf c)}{|\mathbf b-\mathbf c|\,|3\mathbf b-2\mathbf c|}.$$ Углы при боковой стороне в сумме дают $\pi$: $B=\pi-A$, $C=\pi-D$.

2) $S$: треугольники $SBC$ и $SAD$ подобны с коэффициентом $\frac13$, $\overrightarrow{AS}=\frac32\mathbf b$. $M$: $AM:MC=AD:BC=3$, $\overrightarrow{AM}=\frac34\mathbf c$. $$\overrightarrow{SM}=\frac34\mathbf c-\frac32\mathbf b,\qquad |SM|=\frac34\sqrt{\mathbf c^2-4(\mathbf b,\mathbf c)+4\mathbf b^2}=\frac34|\mathbf c-2\mathbf b|.$$

$|AB|=|\mathbf b|$, $|BC|=|\mathbf c-\mathbf b|$, $|AD|=3|\mathbf c-\mathbf b|$, $|CD|=|2\mathbf c-3\mathbf b|$; $\cos A=\frac{(\mathbf b,\mathbf c-\mathbf b)}{|\mathbf b||\mathbf c-\mathbf b|}$, $\cos D=\frac{(\mathbf b-\mathbf c,3\mathbf b-2\mathbf c)}{|\mathbf b-\mathbf c||3\mathbf b-2\mathbf c|}$, $B=\pi-A$, $C=\pi-D$; $|SM|=\frac34|\mathbf c-2\mathbf b|$.