Дан треугольник $ABC$. Выразить через $\mathbf b=\overrightarrow{AB}$ и $\mathbf c=\overrightarrow{AC}$: 1) длину стороны $BC$; 2) длину медианы $AM$; 3) площадь треугольника.

1) $\overrightarrow{BC}=\mathbf c-\mathbf b$, $$|BC|=\sqrt{(\mathbf c-\mathbf b)^2}=\sqrt{\mathbf b^2-2(\mathbf b,\mathbf c)+\mathbf c^2}.$$

2) $\overrightarrow{AM}=\frac12(\mathbf b+\mathbf c)$, $$|AM|=\frac12\sqrt{\mathbf b^2+2(\mathbf b,\mathbf c)+\mathbf c^2}.$$

3) $S=\frac12|\mathbf b||\mathbf c|\sin A$, а $\sin^2A=1-\cos^2A=1-\dfrac{(\mathbf b,\mathbf c)^2}{\mathbf b^2\mathbf c^2}$: $$S=\frac12\sqrt{\mathbf b^2\mathbf c^2-(\mathbf b,\mathbf c)^2}.$$ (Здесь $\mathbf b^2=(\mathbf b,\mathbf b)=|\mathbf b|^2$.)

$|BC|=\sqrt{\mathbf b^2-2(\mathbf b,\mathbf c)+\mathbf c^2}$, $|AM|=\frac12\sqrt{\mathbf b^2+2(\mathbf b,\mathbf c)+\mathbf c^2}$, $S=\frac12\sqrt{\mathbf b^2\mathbf c^2-(\mathbf b,\mathbf c)^2}$.