Беклемишев 2.14. Скалярное произведение через длины сторон
Условие задачи
В треугольнике $ABC$ даны длины сторон. Найти скалярное произведение $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC})$, если: 1) $|AB|=5$, $|BC|=3$, $|AC|=4$; 2) $|AB|=7$, $|BC|=4$, $|AC|=5$; 3) $|AB|=3$, $|BC|=2$, $|AC|=3$.
Решение
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$. Возводим в скалярный квадрат: $$|AB|^2=|AC|^2-2(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC})+|BC|^2\ \Rightarrow\ (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC})=\frac{|AC|^2+|BC|^2-|AB|^2}2.$$ (Это теорема косинусов для угла $C$.)
1) $\frac{16+9-25}2=0$ — угол $C$ прямой (египетский треугольник).
2) $\frac{25+16-49}2=-4$.
3) $\frac{9+4-9}2=2$.
Ответ
1) $0$; 2) $-4$; 3) $2$.