В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Найти координаты вектора $\overrightarrow{AD}$ в базисе, образованном векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

По свойству биссектрисы $BD:DC=AB:AC$. Обозначим $b=|AB|$, $c=|AC|$. Точка $D$ делит $BC$ в отношении $b:c$, поэтому (см. 2.1.2) $$\overrightarrow{AD}=\frac{c\,\overrightarrow{AB}+b\,\overrightarrow{AC}}{b+c}.$$ Другой взгляд. Вектор $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{b}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{c}$ — сумма единичных векторов, он направлен по диагонали ромба, то есть по биссектрисе. Остаётся найти множитель, при котором конец вектора попадает на $BC$ (сумма коэффициентов равна $1$) — получится та же формула.

$\overrightarrow{AD}=\dfrac{|AC|}{|AB|+|AC|}\overrightarrow{AB}+\dfrac{|AB|}{|AB|+|AC|}\overrightarrow{AC}$.