В трапеции $ABCD$ длины оснований $AD$ и $BC$ относятся как $3:1$. $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции, $S$ — точка пересечения продолжений боковых сторон. Принимая за базисные векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AB}$, найти координаты векторов $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{AS}$.

Обозначим $\mathbf d=\overrightarrow{AD}$, $\mathbf b=\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{BC}=\frac13\mathbf d$. $$\overrightarrow{AC}=\mathbf b+\frac13\mathbf d.$$ Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны с коэффициентом $AD:BC=3$, поэтому $AO:OC=3:1$: $$\overrightarrow{AO}=\frac34\overrightarrow{AC}=\frac14\mathbf d+\frac34\mathbf b.$$ Треугольники $SBC$ и $SAD$ подобны с коэффициентом $\frac13$, поэтому $SB:SA=1:3$, $AB=\frac23AS$: $$\overrightarrow{AS}=\frac32\mathbf b.$$

В базисе $(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB})$: $\overrightarrow{AC}(\frac13,1)$, $\overrightarrow{AO}(\frac14,\frac34)$, $\overrightarrow{AS}(0,\frac32)$.