Вычислить $\displaystyle\int_0^\pi \sin^2t\,dt$.

Понижаем степень: $\sin^2t=\dfrac{1-\cos2t}{2}$.

$$ \int_0^\pi \sin^2t\,dt = \int_0^\pi \frac{1-\cos2t}{2}\,dt = \left[\frac{t}{2}-\frac{\sin2t}{4}\right]_0^\pi. $$

Вычисляем: $$ \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\sin2\pi}{4}\right) - \left(0-\frac{\sin0}{4}\right) = \frac{\pi}{2}-0-0 = \frac{\pi}{2}. $$

$$ \boxed{\int_0^\pi \sin^2t\,dt = \frac{\pi}{2}} $$