Вычислить $\displaystyle\int_1^2 \frac{5-x^3}{x^6}\,dx$.

Разбиваем дробь на два слагаемых: $$ \frac{5-x^3}{x^6} = 5x^{-6} - x^{-3}. $$

Находим первообразную: $$ \int \left(5x^{-6}-x^{-3}\right)dx = 5\cdot\frac{x^{-5}}{-5} - \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{x^5}+\frac{1}{2x^2}+C. $$

Обозначим $F(x)=-\dfrac1{x^5}+\dfrac1{2x^2}$. Вычисляем по формуле Ньютона—Лейбница: $$ F(2) = -\frac{1}{32}+\frac{1}{8} = -\frac{1}{32}+\frac{4}{32}=\frac{3}{32}. $$ $$ F(1) = -1+\frac12 = -\frac12. $$

$$ \int_1^2 \frac{5-x^3}{x^6}\,dx = F(2)-F(1) = \frac{3}{32}-\left(-\frac12\right) = \frac{3}{32}+\frac{16}{32} = \frac{19}{32}. $$

$$ \boxed{\int_1^2 \frac{5-x^3}{x^6}\,dx = \frac{19}{32}} $$