Вычислить $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$, $\displaystyle\int_0^{\pi}\cos x\,dx$ и $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$. Объяснить, почему получаются именно такие значения.

Первообразная: $\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C$.

$$ \int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = \big[\sin x\big]_0^{\pi/2} = \sin\frac\pi2-\sin0 = 1-0 = 1. $$

На $[0,\pi/2]$ функция $\cos x\ge0$, площадь под графиком целиком положительна, отсюда положительный результат.

$$ \int_0^{\pi} \cos x\,dx = \big[\sin x\big]_0^{\pi} = \sin\pi-\sin0 = 0-0 = 0. $$

На $[0,\pi/2]$ функция $\cos x\ge0$ (площадь $+1$), а на $[\pi/2,\pi]$ она $\le0$ и является зеркальным отражением первой части относительно вертикальной прямой $x=\pi/2$ с обратным знаком ($\cos(\pi-x)=-\cos x$), давая площадь $-1$. Суммарно «площади со знаком» сокращаются, интеграл равен $0$.

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x\,dx = \big[\sin x\big]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin\frac\pi2-\sin\left(-\frac\pi2\right) = 1-(-1) = 2. $$

Функция $\cos x$ чётная и на всём промежутке $[-\pi/2,\pi/2]$ неотрицательна. По симметрии интеграл вдвое больше интеграла по половине промежутка: $2\cdot\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = 2\cdot1=2$ — здесь, в отличие от нечётной функции $\sin x$ из задачи 4.7.1, площади слева и справа от нуля не сокращаются, а складываются, так как обе неотрицательны и равны по величине.

$$ \boxed{\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = 1,\qquad \int_0^{\pi}\cos x\,dx = 0,\qquad \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx = 2} $$