Вычислить $\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx$, $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ и $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin x\,dx$. Объяснить, почему получаются именно такие значения.

Первообразная: $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.

$$ \int_0^\pi \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^\pi = -\cos\pi-(-\cos0) = -(-1)-(-1) = 1+1 = 2. $$

На отрезке $[0,\pi]$ функция $\sin x\ge0$ — это ровно одна «арка» синусоиды над осью $Ox$. Интеграл равен площади под этой аркой, площадь целиком положительна, поэтому результат положительный и равен $2$.

$$ \int_0^{2\pi} \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^{2\pi} = -\cos2\pi+\cos0 = -1+1 = 0. $$

На $[0,2\pi]$ график состоит из двух арок: положительной на $[0,\pi]$ (площадь $+2$) и отрицательной на $[\pi,2\pi]$ (там $\sin x\le0$, «площадь со знаком» равна $-2$, так как $\sin(x+\pi)=-\sin x$ — вторая арка является зеркальным отражением первой относительно оси $Ox$). Площади взаимно уничтожаются, сумма равна $0$.

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_{-\pi/2}^{\pi/2} = -\cos\frac\pi2+\cos\left(-\frac\pi2\right) = 0+0 = 0. $$

Функция $\sin x$ нечётная, а промежуток интегрирования $[-\pi/2,\pi/2]$ симметричен относительно нуля. Площадь над осью на $[0,\pi/2]$ в точности равна по модулю площади под осью на $[-\pi/2,0]$ (график антисимметричен), поэтому «площади со знаком» сокращаются и интеграл равен $0$ — это общее свойство интеграла нечётной функции по симметричному промежутку.

$$ \boxed{\int_0^\pi \sin x\,dx = 2,\qquad \int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0,\qquad \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin x\,dx = 0} $$