Задача повышенной сложности.

Вычислить $\displaystyle\int \frac{x}{x+\sqrt x}\,dx$ (при $x>0$).

Замена. Пусть $t=\sqrt x$ ($t>0$), тогда $x=t^2$, $dx=2t\,dt$. Подынтегральное выражение: $$ \frac{x}{x+\sqrt x} = \frac{t^2}{t^2+t} = \frac{t}{t+1}. $$

Значит $$ \int \frac{x}{x+\sqrt x}\,dx = \int \frac{t}{t+1}\cdot 2t\,dt = 2\int \frac{t^2}{t+1}\,dt. $$

Внимание: степень числителя ($t^2$) не меньше степени знаменателя ($t+1$), поэтому дробь неправильная — сначала делим с остатком.

Делим $t^2$ на $t+1$: $t^2 = (t+1)(t-1)+1$ (проверка: $(t+1)(t-1)=t^2-1$, плюс $1$ даёт $t^2$). Значит $$ \frac{t^2}{t+1} = t-1+\frac{1}{t+1}. $$

Интегрируем: $$ 2\int\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right)dt = 2\left(\frac{t^2}{2}-t+\ln|t+1|\right)+C = t^2-2t+2\ln|t+1|+C. $$

Возвращаемся к $x$ ($t=\sqrt x>0$, значит $t+1>0$, знак модуля можно убрать): $$ \int \frac{x}{x+\sqrt x}\,dx = x - 2\sqrt x + 2\ln(\sqrt x+1) + C. $$

$$ \boxed{\int \frac{x}{x+\sqrt x}\,dx = x - 2\sqrt x + 2\ln(\sqrt x+1) + C} $$