4.6.4. Интеграл $\int \dfrac{2x-11}{(x-1)(x+2)}\,dx$
Условие задачи
Вычислить $\displaystyle\int \frac{2x-11}{(x-1)(x+2)}\,dx$.
Решение
Разлагаем на простейшие дроби: $$ \frac{2x-11}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}. $$
Приводим к общему знаменателю: $2x-11 = A(x+2)+B(x-1)$.
Подставляем: - $x=1$: $\ 2-11=-9 = 3A \Rightarrow A=-3$. - $x=-2$: $\ -4-11=-15 = -3B \Rightarrow B=5$.
Значит $$ \frac{2x-11}{(x-1)(x+2)} = \frac{-3}{x-1}+\frac{5}{x+2}. $$
Интегрируем почленно: $$ \int \frac{2x-11}{(x-1)(x+2)}\,dx = -3\ln|x-1| + 5\ln|x+2| + C. $$
Ответ
$$ \boxed{\int \frac{2x-11}{(x-1)(x+2)}\,dx = -3\ln|x-1| + 5\ln|x+2| + C} $$