4.6.2. Интеграл $\int \dfrac{x}{(x-2)(x-3)}\,dx$
Условие задачи
Вычислить $\displaystyle\int \frac{x}{(x-2)(x-3)}\,dx$.
Решение
Разлагаем на простейшие дроби: $$ \frac{x}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}. $$
Приводим к общему знаменателю: $x = A(x-3)+B(x-2)$.
Подставляем: - $x=2$: $\ 2 = -A \Rightarrow A=-2$. - $x=3$: $\ 3 = B \Rightarrow B=3$.
Значит $$ \frac{x}{(x-2)(x-3)} = \frac{-2}{x-2}+\frac{3}{x-3}. $$
Интегрируем почленно: $$ \int \frac{x}{(x-2)(x-3)}\,dx = -2\ln|x-2| + 3\ln|x-3| + C. $$
Ответ
$$ \boxed{\int \frac{x}{(x-2)(x-3)}\,dx = -2\ln|x-2| + 3\ln|x-3| + C} $$