4.6.1. Интеграл $\int \dfrac{5x+4}{(x-2)(x+5)}\,dx$
Условие задачи
Вычислить $\displaystyle\int \frac{5x+4}{(x-2)(x+5)}\,dx$.
Решение
Разлагаем на простейшие дроби: $$ \frac{5x+4}{(x-2)(x+5)} = \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+5}. $$
Приводим к общему знаменателю: $5x+4 = A(x+5)+B(x-2)$.
Подставляем удобные значения $x$: - $x=2$: $\ 14 = 7A \Rightarrow A=2$. - $x=-5$: $\ -21 = -7B \Rightarrow B=3$.
Значит $$ \frac{5x+4}{(x-2)(x+5)} = \frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+5}. $$
Интегрируем почленно: $$ \int \frac{5x+4}{(x-2)(x+5)}\,dx = 2\ln|x-2| + 3\ln|x+5| + C. $$
Ответ
$$ \boxed{\int \frac{5x+4}{(x-2)(x+5)}\,dx = 2\ln|x-2| + 3\ln|x+5| + C} $$