Вычислить $\displaystyle\int x^2e^{-x}\,dx$.

Применяем табличное (двукратное) интегрирование по частям.

Шаг 1. $u=x^2$, $dv=e^{-x}dx$, тогда $du=2x\,dx$, $v=-e^{-x}$: $$ I = -x^2e^{-x} + \int 2xe^{-x}\,dx. $$

Шаг 2. Для $\displaystyle\int 2xe^{-x}\,dx$: $u=2x$, $dv=e^{-x}dx$, тогда $du=2\,dx$, $v=-e^{-x}$: $$ \int 2xe^{-x}\,dx = -2xe^{-x} + \int 2e^{-x}\,dx = -2xe^{-x} - 2e^{-x} + C. $$

Подставляем обратно и группируем: $$ I = -x^2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C = -e^{-x}(x^2+2x+2) + C. $$

$$ \boxed{\int x^2e^{-x}\,dx = -e^{-x}(x^2+2x+2) + C} $$