Вычислить $\displaystyle\int (2x^2+1)\cos(3x)\,dx$.

Шаг 1. $u=2x^2+1$, $dv=\cos3x\,dx$, тогда $du=4x\,dx$, $v=\dfrac{\sin3x}{3}$: $$ I = \frac{(2x^2+1)\sin3x}{3} - \frac43\int x\sin3x\,dx. $$

Шаг 2. Для $\displaystyle\int x\sin3x\,dx$: $u=x$, $dv=\sin3x\,dx$, тогда $du=dx$, $v=-\dfrac{\cos3x}{3}$: $$ \int x\sin3x\,dx = -\frac{x\cos3x}{3} + \int \frac{\cos3x}{3}\,dx = -\frac{x\cos3x}{3} + \frac{\sin3x}{9} + C. $$

Подставляем обратно: $$ I = \frac{(2x^2+1)\sin3x}{3} - \frac43\left(-\frac{x\cos3x}{3} + \frac{\sin3x}{9}\right) + C = \frac{(2x^2+1)\sin3x}{3} + \frac{4x\cos3x}{9} - \frac{4\sin3x}{27} + C. $$

Приводим коэффициенты при $\sin3x$ к общему знаменателю $27$: $$ \frac{2x^2+1}{3}-\frac{4}{27} = \frac{9(2x^2+1)-4}{27} = \frac{18x^2+5}{27}. $$

$$ \boxed{\int (2x^2+1)\cos(3x)\,dx = \frac{18x^2+5}{27}\sin3x + \frac{4x}{9}\cos3x + C} $$