Вычислить $\displaystyle\int (x^2+x+1)\cos x\,dx$.

Применяем интегрирование по частям дважды (многочлен понижает степень при дифференцировании).

Шаг 1. $u=x^2+x+1$, $dv=\cos x\,dx$, тогда $du=(2x+1)\,dx$, $v=\sin x$: $$ I=(x^2+x+1)\sin x - \int (2x+1)\sin x\,dx. $$

Шаг 2. Для $J=\displaystyle\int (2x+1)\sin x\,dx$: $u=2x+1$, $dv=\sin x\,dx$, тогда $du=2\,dx$, $v=-\cos x$: $$ J = -(2x+1)\cos x + \int 2\cos x\,dx = -(2x+1)\cos x + 2\sin x + C. $$

Подставляем обратно: $$ I = (x^2+x+1)\sin x - \big[-(2x+1)\cos x + 2\sin x\big] + C = (x^2+x+1-2)\sin x + (2x+1)\cos x + C. $$

$$ I = (x^2+x-1)\sin x + (2x+1)\cos x + C. $$

Проверка дифференцированием подтверждает результат.

$$ \boxed{\int (x^2+x+1)\cos x\,dx = (x^2+x-1)\sin x + (2x+1)\cos x + C} $$