Задача повышенной сложности.

Вычислить $\displaystyle\int \frac{x\,\mathrm{arctg}\,x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$.

Замечаем, что $\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$ — это дифференциал функции $\sqrt{1+x^2}$, поскольку $\left(\sqrt{1+x^2}\right)'=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$. Это подсказывает выбор для интегрирования по частям.

$u=\mathrm{arctg}\,x$, $dv=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx$, тогда $du=\dfrac{dx}{1+x^2}$, $v=\sqrt{1+x^2}$: $$ I = \mathrm{arctg}(x)\sqrt{1+x^2} - \int \sqrt{1+x^2}\cdot\frac{dx}{1+x^2} = \mathrm{arctg}(x)\sqrt{1+x^2} - \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}. $$

Табличный интеграл: $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} = \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) + C. $$

Итого: $$ I = \mathrm{arctg}(x)\sqrt{1+x^2} - \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) + C. $$

$$ \boxed{\int \frac{x\,\mathrm{arctg}\,x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx = \mathrm{arctg}(x)\sqrt{1+x^2} - \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) + C} $$