$$\int \dfrac{\cos^3x}{\sin^4x}\,dx$$

Отделяем один косинус: $\cos^3x=\cos x(1-\sin^2x)$. Пусть $u=\sin x$, $du=\cos x\,dx$: $$\int\frac{\cos x(1-\sin^2x)}{\sin^4x}\,dx=\int\frac{1-u^2}{u^4}\,du=\int\left(u^{-4}-u^{-2}\right)du=-\frac1{3u^3}+\frac1u+C.$$ Возвращаемся к $x$: $$\frac1{\sin x}-\frac1{3\sin^3x}+C.$$

$$\boxed{\dfrac1{\sin x}-\dfrac1{3\sin^3x}+C}$$