Задача повышенной сложности (со звёздочкой).

$$\int \dfrac{\ln x\,dx}{x\sqrt{1+\ln x}}$$

Так как $d(1+\ln x)=\dfrac{dx}x$, положим $t=1+\ln x$, тогда $\ln x=t-1$: $$\int\frac{\ln x}{\sqrt{1+\ln x}}\cdot\frac{dx}x=\int\frac{t-1}{\sqrt t}\,dt=\int\left(t^{1/2}-t^{-1/2}\right)dt=\frac23t^{3/2}-2t^{1/2}+C.$$ Возвращаемся к $x$ ($t=1+\ln x$): $$\frac23(1+\ln x)^{3/2}-2(1+\ln x)^{1/2}+C=\frac23\sqrt{1+\ln x}\,(\ln x-2)+C.$$

$$\boxed{\dfrac23(1+\ln x)^{3/2}-2\sqrt{1+\ln x}+C}$$