$$\int \dfrac{dx}{\sqrt{4x^2+24x+38}}$$

Выделяем полный квадрат: $$4x^2+24x+38=4(x^2+6x)+38=4\left[(x+3)^2-9\right]+38=4(x+3)^2+2.$$ Тогда $$\int\frac{dx}{\sqrt{4(x+3)^2+2}}=\frac12\int\frac{dx}{\sqrt{(x+3)^2+\frac12}}.$$ По формуле $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}}=\ln\left|u+\sqrt{u^2+a^2}\right|+C$ ($u=x+3$): $$\frac12\ln\left|(x+3)+\sqrt{(x+3)^2+\tfrac12}\right|+C.$$ Умножая выражение под корнем и логарифмом на $2$ и относя лишнюю постоянную $\ln2$ к $C$, получаем более компактную запись: $$\frac12\ln\left|2x+6+\sqrt{4x^2+24x+38}\right|+C.$$

$$\boxed{\dfrac12\ln\left|2x+6+\sqrt{4x^2+24x+38}\right|+C}$$