$$\int \dfrac{dx}{4x^2+16x+41}$$

Выделяем полный квадрат: $$4x^2+16x+41=4(x^2+4x)+41=4\left[(x+2)^2-4\right]+41=4(x+2)^2+25.$$ Тогда $$\int\frac{dx}{4(x+2)^2+25}=\frac14\int\frac{dx}{(x+2)^2+\left(\frac52\right)^2}.$$ По табличной формуле $\displaystyle\int\frac{du}{u^2+a^2}=\frac1a\,\mathrm{arctg}\frac ua+C$ ($u=x+2$, $a=\frac52$): $$\frac14\cdot\frac1{5/2}\,\mathrm{arctg}\frac{x+2}{5/2}+C=\frac1{10}\,\mathrm{arctg}\frac{2(x+2)}5+C.$$

$$\boxed{\dfrac1{10}\,\mathrm{arctg}\dfrac{2x+4}5+C}$$